To tylko jedna z 4 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Poj˛ecie funkcji. Funkcja liniowa Wykład 1; 3 pa´zdziernika 2012 1 Matematyka w naukach przyrodniczych Zale˙zno´sci funkcyjne w naukach przyrodniczych Rozwój algebry i analiza matematycznej w 16 i 17 wieku: opis zjawisk takich jak: • ruch jednostajnie przy´spieszony; Droga s , jak ˛ a przemierzy kulka ołowiana upusz- czona z wysokiej wie˙zy po czasie t : s = gt 2 2 , gdzie g ≈ 9 , 81 m s 2 ; • eliptyczne trajektorie, po których poruszaj ˛ a si˛e planety; • wychylenie wahadła w zale˙zno´sci od czasu (przy małym k ˛ acie wychylenia pocz ˛ at- kowego). Rachunek ró˙zniczkowy i całkowy — narodziny fizyki klasycznej (newtonowskiej) Je´sli pr˛edko´s´c v punktu materialnego dana jest wzorem v ( t ) = gt , łatwo jest obliczy´c: • drog˛e przebyt ˛ a na przedziale czasowym [ t 1 , t 2], t 1 , t 2 0 (jest ona równa polu trapezu: g 2 ( t 2 2 − t 2 1)); • przy´spieszenie: jest ono równe g . Problem: w jaki sposób wykonywa´c analogiczne obliczenia, gdy funkcja v = v ( t ) ma bardziej skomplikowan ˛ a posta´c? Np. gdy v ( t ) = t 2? • Niezb˛edne jest skorzystanie z poj˛e´c i metod rachunku ró˙zniczkowego i całkowe- go . • poj˛ecie pochodnej, całki oznaczonej, twierdzenie Newtona-Leibniza: rozwój fi- zyki klasycznej w XVII i XVIII wieku. Pole trapezu krzywoliniowego Załó˙zmy, ˙ze funkcja f jest nieujemna i ci ˛ agła na przedziale [ a, b ] (czyli jej wykres mo˙zna „narysowa´c bez odrywania r˛eki”). Figur˛e ograniczon ˛ a wykresem funkcji f oraz prostymi: x = a , x = b i y = 0 b˛edziemy nazywa´c trapezem krzywoliniowym odpo- wiadaj ˛ acym odcinkowi [ a, b ] i funkcji f . Pole (wy˙zej okre´slonego) trapezu krzywoliniowego: całka na przedziale [ a, b ] z f : notacja b a f ( x ) dx . Interpretacja fizyczna: droga przebyta przez punkt materialny poruszaj ˛ acy si˛e z pred- ko´sci ˛ a v = f ( t ), f ( t ) 0, na odcinku czasowym [ a, b ]. 1 x y y = f (x) 0 a b Rysunek 1: Trapez krzywoliniowy Poj˛ecie funkcji Kluczowym poj˛eciem w analizie matematycznej (i naszym kursie) jest poj˛ecie funkcji. Definicja 1. Niech b˛ed ˛ a dane dwie zmienne x i y o obszarach zmienno´sci X i Y. Zmienna f jest funkcj ˛ a zmiennej x w jej obszarze zmienno´sci X je´sli istnieje prawo przypisuj ˛ ace ka˙zdej warto´sci x dokładnie jedn ˛ a warto´s´c y (z Y ). Obszar zmienno´sci X mo˙ze by´c np. przedziałem lub podzbiorem płaszczyzny. Funkcje jednej zmiennej
(…)
… i całkowy. Funkcje jednej zmiennej. PWN, Warszawa 2008.
[Wrz10]
Wrzosek, D., Matematyka dla biologów. Wydawnictwo Uniwersytetu
Warszawskiego. Warszawa 2010.
[ZZ00]
Zakrzewscy, D. i M., Repetytorium z matematyki. Wydawnictwo Szkolne
PWN, Warszawa 2000.
˙
[ZZZ05]
˙
Zakrzewscy, D. i M., Zak, T., Matematyka. Matura na 100%. Wydawnictwo Szkolne PWN, Warszawa 2005.
4
…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)