podstawy fizyki - wykład 16

18. Równania Lagrange’a
• francuski matematyk, mechanik i
astronom pochodzenia włoskiego
• współtwórca mechaniki analitycznej i
rachunku wariacyjnego
• rozległe badania w dziedzinie
mechaniki i jej wykorzystania do opisu
ruchu planet i Księ yca (Traité de
mécanique analytique – Mechanika
analityczna – 1788)
• oficer Legii Honorowej, senator
Joseph Louis de Lagrange
(Giuseppe Lodovico Langrangia)
1736 – 1813
Równania Lagrange’a II rodzaju
d  ∂T  ∂T
∂V

−
=−
+ Qj − Rj
&
dt  ∂q j  ∂q j
∂q j


j = 1, 2,K, s
w potencjalnym polu sił
s – liczba stopni swobody układu
q – współrzędna uogólniona
T – energia kinetyczna układu
V – energia potencjalna układu (gdy na układ działają siły potencjalne)
Qj – zewnętrzna siła uogólniona odpowiadająca współrzędnej uogólnionej
Rj – uogólniona siła oporu (skierowana przeciwnie do Qj)
praca przygotowana
n sił czynnych
działających na
nieswobodny układ
materialny
n
δL = ∑ (Pxiδ xi + Pyiδ yi + Pziδ zi ) =
i =1
s  n 
s
∂x
∂y
∂z 
= ∑ ∑  Pxi i + Pyi i + Pzi i δq j = ∑ Q jδq j
 ∂q j
∂q j
∂q j 
j =1i =1 
j =1


Qj
1
Zadanie 1/18
Jednorodny cienki pręt o masie m i długości l zawieszono
przegubowo w polu sił cię kości i podparto na niewa kiej
sprę ynie o sztywności c. Przy pionowym ustawieniu pręta
sprę yna nie jest napięta. Wyznaczyć okres drgań układu po
nieznacznym wychyleniu pręta z poło enia równowagi.
a)
b)
m
m
l/2
c
l
l
c
Zadanie 2/18
Do niewa kiego pręta podpartego na niewa kiej sprę ynie o
sztywności c i umieszczonego w polu sił cię kości przytwierdzono
jednorodną tarczę o masie m i promieniu r. Przy pionowym
ustawieniu pręta sprę yna nie jest napięta. Wyznaczyć okres drgań
układu po nieznacznym wychyleniu z poło enia równowagi.
a)
b)
l/2
m,r
l/2
c
l
c
l
m,r
2
Zadanie 3/18
Do niewa kiego pręta podpartego na niewa kiej sprę ynie o
sztywności c i umieszczonego w polu sił cię kości przytwierdzono
punkt materialny o masie m. Przy pionowym ustawieniu pręta
sprę yna nie jest napięta. Wyznaczyć okres drgań układu po
nieznacznym wychyleniu z poło enia równowagi.
a)
b)
c
l/3
2l/3
l
l
m
c
m
Zadanie 4/18
Środek jednorodnego, chropowatego walca o masie m i
promieniu r połączono z nieruchomą podporą za pomocą
niewa kiej sprę yny o sztywności c i umieszczono w polu sił
cię kości. Obliczyć okres drgań układu wokół poło enia
równowagi.
a)
b)
m,r
c
c
m,r
α
3
Zadanie 5/18
Podwójne wahadło
fizyczne składa się z
cienkich prętów o masach i
długościach: m1, l1 i m2, l2.
Napisać ró niczkowe
równania ruchu układu.
m1,l1
m2,l2
Zadanie 6/18
Przedstawione na rysunkach układy znajdują się w polu sił
cię kości. Napisać ró niczkowe równania ruchu po wytrąceniu
układu z poło enia równowagi.
a)
b)
jednorodny
chropowaty
walec
M,R
c
M
gładki
klocek
c
przegub
niewa ka
sprę yna
jednorodny
cienki pręt
m,l
m,l
4
Zadanie 7/18
Przedstawione na rysunkach układy znajdują się w polu sił
cię kości. Napisać ró niczkowe równania ruchu po wytrąceniu
układu z poło enia równowagi.
a)
b) ... zobacz całą notatkę