Podstawowe informacje-opracowanie

Nasza ocena:

3
Pobrań: 147
Wyświetleń: 938
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Podstawowe informacje-opracowanie - strona 1 Podstawowe informacje-opracowanie - strona 2 Podstawowe informacje-opracowanie - strona 3

Fragment notatki:

Wykład 0
Co każdy student wiedzieć
powinien
0.1
Wzory skróconego mnożenia
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
a2 − b2 = (a + b) (a − b)
(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
(a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3
0.2
Elementarne funkcje jednej zmiennej rzeczywistej
0.2.1
Podstawowe definicje
Pojęcie funkcji znane jest ze szkół średnich. Przypomnijmy, że:
1
0.2. ELEMENTARNE FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ RZECZYWISTEJ
Definicja 0.2.1. Funkcją odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy takie przyporządkowanie, które każdemu elementowi x ze zbioru X przyporządkowuje dokładnie jeden element y ze zbioru Y .
Zapisujemy to w postaci: f : X → Y lub y = f (x).
Elementy zbioru X to argumenty (zmienne niezależne), a zbiór X – dziedzina
funkcji f . Elementy y takie, że y = f (x) to wartości funkcji (lub zmienne zależne), a
zbiór wszystkich wartości, który zawiera się w zbiorze Y nazywamy zbiorem wartości
lub przeciwdziedziną funkcji f .
Funkcję możemy zilustrować graficznie na płaszczyźnie w układzie współrzędnych
OXY za pomocą wykresu funkcji. Wykres ten, to zbiór punktów o współrzędnych
(x, y) ∈ R2 , gdzie x ∈ X i y = f (x).
Definicja 0.2.2. Miejscem zerowym funkcji y = f (x) nazywamy taką wartość x0 ∈
X, dla której wartość funkcji wynosi 0, czyli f (x0 ) = 0. Geometrycznie jest to odcięta
punktu przecięcia wykresu funkcji z osią OX.
Dwie funkcje f i g nazywamy równymi jeżeli posiadają tę samą dziedzinę (określone są na takim samym zbiorze X) oraz w każdym punkcie dziedziny przyjmują tę
samą wartość. Piszemy wtedy f = g.
0.2.2
Podstawowe funkcje elementarne:
1. Funkcja liniowa f (x) = ax + b, gdzie a – współczynnik kierunkowy, b – wyraz
wolny i a, b, x ∈ R. Wykresem funkcji liniowej jest prosta, która przecina oś OX
b
b
w punkcie (− a , 0), czyli ma miejsce zerowe dla x0 = − a , a oś OY w punkcie
(0, b). Prosta ta jest nachylona do osi OX pod takim kątem α, że tg(α) jest
równy współczynnikowi kierunkowemu, czyli tg(α) = a.
Współrzędne (x, y) punktu przecięcia dwóch prostych wyliczamy jako rozwiązanie układu dwóch równań liniowych z dwoma niewiadomymi:

 a x+b =y
1
1
 a x+b =y
2
2
lub
2

 A x+B y =C
1
1
1
 A x+B y =C
2
2
2
,
0.2. ELEMENTARNE FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ RZECZYWISTEJ
gdzie wykresem każdego z równań jest odpowiednia prosta.
Jeżeli proste się przecinają, to powyższy układ posiada dokładnie jedno rozwiązanie. W przypadku, gdy proste są równoległe układ ten jest sprzeczny, a
jeśli proste się pokrywają, posiada nieskończenie wiele rozwiązań (mają nieskończenie wiele punktów wspólnych i każdy z nich jest rozwiązaniem).
2. Funkcja kwadratowa f (x) = ax2 + bx + c, gdzie a = 0, b, c, x ∈ R.
Szczególnym przypadkiem tej funkcji jest f (x) = ax2 , gdzie a = 0. W zależności od znaku parametru a wykresami tej funkcji są parabole.
Dla trójmianu kwadratowego, czyli funkcji postaci f (x) = ax2 +bx+c wykresem
b
jest parabola, której wierzchołek ma współrzędne (p, q), gdzie p = − 2a , q =

− 4a , a ∆ = b2 − 4ac to wyróżnik trójmianu kwadratowego. Wykorzystując
powyższe pojęcia, funkcję kwadratową możemy zapisać w postaci:
• kanonicznej f (x) = a(x − p)2 + q
• iloczynowej f (x) = a(x − p)2 dla ∆ = 0 lub f (x) = a(x − x1 )(x − x2 )
dla ∆ 0, gdzie x1 =

−b− ∆
,
2a
x2 =

−b+ ∆
.
2a
Punkty (x1 , 0) oraz (x2 , 0) są
punktami przecięcia paraboli z osią OX, czyli są miejscami zerowymi.
Tym samym x1 oraz x2 są pierwiastkami równania ax2 + bx + c = 0 gdy
∆ 0. Dla pierwiastków

(…)

… geometrycznym, to:
• an = a1 q n−1
• a2 = an−1 · an+1 (każdy wyraz jest równy średniej geometrycznej wyrazów
n
bezpośrednio z nim sąsiadujących)
• 
suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego Sn = a1 + a2 + ... + an =
 a 1−qn
dla q = 1
1 1−q
.

na1
dla q = 1
• dla ciągu geometrycznego zbieżnego, gdy q ∈ (−1, 1), suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi S = lim Sn = a1 + a1 q…

q
jest pierwiastkiem wymiernym wielomianu
Wn (x) o współczynnikach całkowitych, to p jest podzielnikiem wyrazu
wolnego, a q jest podzielnikiem współczynnika stojącego przy najwyższej
potędze xn .
Najprostszym przykładem wielomianu jest funkcja postaci y = axn , gdzie n ∈
N ∪ {0}. Dla n = 1 otrzymamy funkcję liniową, dla n = 2 funkcję kwadratową,
a dla kolejnych n omówioną niżej funkcję potęgową.
4. Funkcją potęgową nazywamy funkcję postaci f (x) = axm , gdzie a > 0 i m ∈
R. Zbiór, dla którego określona jest ta funkcja (dziedzina) zależy od wartości
parametru m.
Oto kilka przykładów najczęściej spotykanych funkcji potęgowych:
f (x) = x3 ,
f (x) = x4 ,
f (x) = x−1 =
5. Funkcja wymierna f (x) =
P (x)
,
Q(x)
1
,
x
1
f (x) = x 2 =
f (x) = x−2 =

x,
1
x2
gdzie P (x) i Q (x) są wielomianami i Q (x) =
0…
… są symetryczne względem prostej y = x.
8. Funkcje trygonometryczne. Niech α będzie miarą kąta skierowanego, a punkt
P = (x, y) leży na jego ramieniu. Oznaczmy długość odcinka OP przez r. Jest
to tzw. promień wodzący.
6
0.2. ELEMENTARNE FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ RZECZYWISTEJ
Definicja 0.2.3. Sinusem kąta α nazywamy stosunek rzędnej punktu P do
promienia wodzącego, sin(α) = y .
r
Cosinusem kąta α nazywamy stosunek…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz