Pochodne cząstkowe wyższych rzędów, własności

Nasza ocena:

5
Pobrań: 77
Wyświetleń: 1932
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Pochodne cząstkowe wyższych rzędów, własności - strona 1 Pochodne cząstkowe wyższych rzędów, własności - strona 2

Fragment notatki:

Pochodne cząstkowe: ; ; ; . . Pochodne cząstkowe wyższych rzędów, własności. Niech będzie określona w obszarze . Zakładamy, że istnieją pochodne cząstkowe funkcji w . Pochodne cząstkowe rzędu drugiego:
Pochodne wyższych rzędów oblicza się różniczkując znów po dowolnych zmiennych. Pochodne wyższych rzędów obliczane względem zmiennych różnych niż wybrana początkowo nazywamy mieszanymi.
Własności:
Jeżeli istnieją pochodne mieszane i w otoczeniu punktu i są ciągłe w tym punkcie to: . Pochodne cząstkowe mieszane nie muszą być równe w punkcie, w którym nie są ciągłe.
Pochodne cząstkowe funkcji złożonej , , . Niech funkcje , będą określone w obszarze i niech funkcja będzie określona w zbiorze zawierającym zbiór wartości odwzorowania .
Jeżeli funkcje i mają pochodne cząstkowe i w obszarze , a funkcja ma pochodne cząstkowe i ciągłe w obszarze to funkcja złożona ma pochodne cząstkowe wyrażone wzorami:
Jeżeli funkcje f, u, v mają pochodne cząstkowe drugiego rzędu to powyższe wzory możemy stosować do funkci f u i f v .
Jeżeli funkcje u i v zależą tylko od 1 zmiennej to wzór przyjmuje postać:
, Jeżeli to:
, Uogólnienie wzoru:
, Pochodna kierunkowa. Niech funkcja będzie określona w otoczeniu punktu i niech: , , . będzie półprostą wychodzącą z punktu P. Pochodną cząstkową funkcji w kierunku półprostej w punkcie nazywamy granicę (o ile istnieje): - wektor, założenie: Jeżeli funkcja ma w otoczeniu punktu pochodne cząstkowe ciągłe, to w tym punkcie istnieje pochodna cząstkowa w kierunku dowolnej półprostej i wyraża się wzorem:
, gdzie , , .
Analogicznie dla funkcji większej ilości zmiennych.
Wzór Taylora dla funkcji dwóch zmiennych. Niech funkcja będzie f klasy C 1 w obszarze zawierającym odcinek o końcach w punktach: i , wówczas istnieje punkt , takie, że:
Gdzie: Pochodne cząstkowe są liczone w punkcie A dla v=1,2..n,
A Rn są liczone w punkcie .
Ostatni składnik w tym wzorze nazywamy n-tą resztą i oznaczamy . Jeżeli punkt to wzór Taylora nazywamy wzorem Maclaurina.
Ekstrema funkcji wielu zmiennych. - przestrzeń metryczna;
Mówimy, że funkcja ma w punkcie maksimum (minimum) lokalne jeżeli istnieje otoczenie punktu

(…)

… pierwotną układu funkcji Pi Q. . - różniczka zupełna funkcji F. Niech i będą funkcjami ciagłymi w obszarze i niech i maja ciągłe pochodne i w . Warunek konieczny i wystarczający na to, żeby lewa strona wyrażenia (1) była różniczką zupełną w obszarze jednospójnym jest by w zachodziła równość (obszar nazywamy jednospójny jeżeli jego brzeg składa się z jednej krzywej zamkniętej).
Jeżeli lewa strona równania (1) jest różniczką zupełną funkcji w obszarze to zbiór określony równaniem (2) przedstawia zbiór wszystkich krzywych całkowych równania (1). - funkcja pierwotna równania i .
Dowód
Niech będzie rozwiązaniem równania (2) dla pewnego C czyli , -przedzia ł; , Czyli spełniona równość (1) Niech wyraz będzie rozwiązaniem równania (1) Stąd zatem RÓWNANIA CZĄSTKOWE:
(1) a) (1) quasi-liniowe; równanie…
… lokalne jeśli , minimum lokalne jeśli .
Równanie różniczkowe zwyczajne
Równanie postaci lub krócej , gdzie funkcja jest określona i ciągła w obszarze , nazywamy równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego. RRZ rzędu I nazywamy równanie postaci gdzie jest funkcją ciągłą w obszarze . Szukamy funkcji , takiej, że:
dla (I-przedział)
Rozwiązaniem równania lub całką równania nazywamy każdą funkcję…
... zobacz całą notatkę



Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz