ZASTOSOWANIA RACHUNKU POCHODNYCH: ALGORYTMÓW RÓŻNICZKOWANIA Równanie stycznej. Gdy badamy funkcje y = f ( x ), to równanie stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie ( p, f ( p )) ma postać y − f ( p ) = f ( p )( x − p ) . Gdy krzywa jest określona w sposób parametryczny, tzn y = y ( t ) oraz x = x ( t ) , to równanie stycznej w punkcie ( x ( r ) , y ( r )) ma postać y − y ( r ) x − x ( r ) = y ( r ) x ( r ) , gdzie pochodne z prawej strony równania to pochodne względem parametru. Kąt przecięcia dwu krzywych: kąt przecięcia się stycznych do tych krzywych, wyznaczamy ze wzoru tg ( α ) = m 1 − m 2 1 + m 1 m 2 , w którym α to szukany kąt, zaś m 1 oraz m 2 to współczynniki kierunkowe stycz- nych do krzywych - taki wzór wynika ze wzoru na tangens różnicy dwu kątów. Równanie normalnej: równanie prostej przecinającej krzywą pod kątem prostym, tzn. prostopadłej do stycznej. Gdy krzywa jest wykresem funkcji y = f ( x ), to współczynnik kierunkowy stycznej w punkcie ( p, f ( p ) wynosi f ( p ), a więc współczynnik kierunkowy normalnej będzie wynosił − 1 f ( p ) . Stąd normalna ma równanie y − f ( p ) = p − x f ( p ) . Gdy krzywa jest zadana paramertrycznie równaniami x = x ( t ) oraz y = y ( t ), to normalna ma równanie ( y − y ( p )) y ( p ) = ( x ( p ) − x ) x ( p ) . Gdy funkcja jest rosnąca w przedziale ( a, b ) , to jej pochodna jest nieujemna w tym przedziale. Gdy funkcja jest malejąca w przedziale ( a, b ) , to jej pochodna jest niedodatnia w tym przedziale. Z dwu powyższych zzadań wnioskujemy: Jeśli funkcja jest różniczkowalna w przedziale ( a, b ) , to w punktach będącymi ekstremami lokalnymi tej funkcji po- chodna musi być zerem. 1 Wypukłość, wklęsłość, punkty przegięcia, asymptoty. Gdy współczynnik kierunkowy stycznej rośnie - o ile poruszamy sie w dodat- nim kierunku osi 0 X , to krzywą o takiej właściwości nazywamy wypukłą (krzywa: wykres funkcji różniczkowalnej). Jeśli krzywa jest wypukła, to jej pochodna - funkcja której wartościami są pochodne, jest rosnąca. Stąd wnioskujemy, że dla krzywej wypukłej wyznaczanej przez wykres funkcji y = f ( x ) stale zachodzi [ f ( x )] = f ”( x ) ≥ 0 . Gdy współczynnik kierunkowy stycznej maleje - o ile poruszamy sie w do- datnim kierunku osi 0 X , to krzywą o takiej właściwości nazywamy wklęśłą . Jeśli krzywa jest wklęsła, to jej pochodna jest malejąca. Stąd wnioskujemy, że dla krzywej wklęsłej wyznaczanej przez wykres funkcji
(…)
… lub jedną z nieskończoności, to mamy rówlim
x→a
f (x)
f (x)
= x→a
lim
.
g (x)
g(x)
2
Twierdzenie (Weierstrassa). Funkcja ciągła w przedziale domkniętym przyjmuje w tym przedziale wartość największą oraz wartość najmniejszą.
2
Twierdzenie ( Lagrange’a). Jeśli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym [a, b] oraz różniczkowalna wewnątrz tego przedziału, to
f (b) − f (a)
= f (a + Θ(b − a)),
b−a
gdzie 0…
… się pomiędzy sobą o stałą – o ile obie funkcje są różniczkowalne.
2
Twierdzenie (Wzór Taylora). Jeśli funkcja f jest n-krotnie różniczkowalna
w przedziale (a, b) oraz ciągła w przedziale [a, b], to
n−1
f (b) = f (a) +
(b − a)n (n)
(b − a)k (k)
f (a) +
f (ξ),
k!
n!
k=1
n
gdzie a < ξ < b. Przy czym gdy we wzorze Taylora położymy (b−a) f (n) (ξn ) =
n!
R(ξn ) oraz zasze – o ile a < ξn < b – zachodzi limn→∞ R(ξn…
…, to otrzymiemy ln (1 + 0) =
S(0) + C, skąd wnioskujemy C = 0. W konsekwencji mamy
∞
x2 x3 x4
xn
ln (1 + x) = x −
+
−
+ ... =
(−1)n+1 .
2
3
4
n
n=1
Gdy skorzystamy z tego, że szereg potęgowy przedstawiający funkcję x → ln x
misi być lewostronnie ciągły – twierdzenie Abela– to dostajemy
1−
∞
1 1 1
(−1)n+1
+ − + ... =
= ln 2.
2 3 4
n
n=1
Rozważmy wzór
∞
1
[ arctg (x)] =
=
(−1)n x2n .
2
1+x
n=0
Podobnie…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)