To tylko jedna z 13 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
7.2.1. Pęd układu materialnego i bryły
Pędem punktu materialnego o masie m i prędkości v nazywamy iloczyn masy
punktu i jego prędkości:
p = mv.
(7.40)
vn
mk
m1
Z
powyższej
definicji
wynika, że pęd jest wektorem o
kierunku prędkości, a więc jest
wektorem stycznym do toru
punktu materialnego.
Dla układu n punktów
materialnych o masach mk i
prędkości vk (rys. 7.12) pęd
będzie równy sumie pędów
poszczególnych
punktów
materialnych:
mn
vk
z
vC
rCk
m2
rk
v1
rC
C
v2
O
y
x
Rys. 7.12. Wyznaczenie pędu układu materialnego
n
p = ∑ mk vk .
(7.41)
k =1
Wzór (7.41) można przedstawić w postaci:
p=
d n
∑ m k rk .
dt k =1
(a)
Widzimy, że występująca pod znakiem pochodnej suma, zgodnie ze wzorem
(4.18), jest momentem statycznym S rozpatrywanego układu materialnego
względem początku nieruchomego układu współrzędnych x, y, z :
n
S = ∑ m k rk = m rC .
(b)
k =1
Po podstawieniu wzoru (b) do wzoru (a) i wykonaniu różniczkowania wzór (7.41)
możemy zapisać w postaci:
n
p = ∑ mk vk = m vC =
k =1
dS
,
dt
(7.42)
gdzie m jest masą całkowitą układu materialnego.
Z otrzymanego wzoru wynika, że pęd układu materialnego jest równy
iloczynowi masy całkowitej m układu materialnego i prędkości vC środka masy C.
Ponadto wzór (7.42) pozwala na inne zdefiniowanie pędu.
Pędem nazywamy pochodną względem czasu momentu statycznego układu
materialnego względem nieruchomego punktu:
p=
dS
.
dt
(7.43)
Ponieważ moment statyczny względem środka masy jest równy zeru (patrz p.
4.4), zatem pęd układu materialnego względem środka masy jest także równy zeru.
Pęd bryły sztywnej możemy obliczyć, dzieląc ją na elementy o masach ∆mk i
traktując ją jako układ punktów materialnych. Przybliżoną wartość pędu
otrzymamy po zsumowaniu pędów tych elementów, traktowanych jako punkty
materialne.
Z kolei wartość dokładną pędu otrzymamy po wyznaczeniu granicy sumy, gdy
liczba elementów dąży do nieskończoności
n
p = lim ∑ m k v k = ∫ v dm =
k →∞
k =1
m
dr
d
∫ dt m = dt ∫ r dm .
m
m
Całka występująca w tym wzorze pod znakiem pochodnej jest momentem
statycznym bryły względem początku układu współrzędnych:
∫ r dm = m r
C.
m
Z uwzględnieniem powyższej zależności otrzymujemy wzór na pęd bryły:
p=
d
(m rC ) = m d rC = m v C .
dt
dt
(7.44)
Widzimy zatem, że pęd bryły, podobnie jak pęd układu materialnego, jest
równy iloczynowi jej masy i prędkości środka masy.
7.2.2. Zasada pędu i popędu. Zasada zachowania pędu
Rozpatrzymy obecnie układ składający się z n punktów materialnych o masach
mk i prędkości vk. Na poszczególne punkty rozpatrywanego układu materialnego
działają siły zewnętrzne i
z
vk
wewnętrzne. Na rysunku 7.13
mk
vc
zaznaczono siły działające na dwa
Pk
Fkl
punkty o masach mk i ml. Siły
Pl
zewnętrzne działające na te
C
Flk
rk
punkty
zastąpiono
siłami
rC
ml
wypadkowymi Pk i Pl, siły
rl
v2
wzajemnego
oddziaływania
O
między tymi punktami oznaczono
y
przez Fkl i Flk.
Wypadkowa sił wewnętrznych
x
działających na punkt o masie mk
n
Pwk = ∑ Fkl ,
(7.45)
Rys. 7.13.
(…)
… materialnego przedstawimy w postaci iloczynu masy m
i prędkości vC środka masy, to z zasady zachowania pędu:
m v C = const
wynika, że środek masy porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.
Przykład 7.7. Klocek o masie m = 40 kg porusza się po równi pochyłej o kącie
nachylenia α = 30o pod działaniem siły będącej funkcją czasu P = P(t)
(rys. 7.14a). Miara tej siły zmienia się w czasie od 0 do P1 = 250 N…
…)
n
d(m k v k ) n
= ∑ Pk + ∑ Pwk ,
∑ dt
k =1
k =1
k =1
n
a jeżeli zastąpimy sumę pochodnych pędów pochodną ich sumy, to
n
n
d n
m k v k = ∑ Pk + ∑ Pkz .
∑
dt k =1
k =1
k =1
(d)
Lewa strona równania (d) jest pochodną względem czasu pędu układu
materialnego:
d n
dp
∑ m k v k = dt .
dt k =1
Pierwsza suma po prawej stronie równania (d) jest wektorem głównym sił
zewnętrznych:
n
W = ∑ Pk ,
k =1
a druga…
…
wektorowi głównemu sił zewnętrznych działających na ten układ.
W celu wyznaczenia zmiany pędu układu punktów materialnych w skończonym
przedziale czasu, np. od 0 do t, wywołanej przez siły zewnętrzne działające na ten
układ, scałkujmy równanie (7.48) w tym przedziale czasu. Otrzymamy wtedy:
t
p(t ) − p(0 ) = ∫ W dt .
0
(7.49)
Równanie to nazywamy zasadą pędu i popędu lub prawem zmienności pędu.
Przyrost…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)