To tylko jedna z 13 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
7.2.1. Pęd układu materialnego i bryły Pędem punktu materialnego o masie m i prędkości v nazywamy iloczyn masy punktu i jego prędkości : p = m v . (7.40) Z powyższej definicji wynika, że pęd jest wektorem o kierunku prędkości, a więc jest wektorem stycznym do toru punktu materialnego. Dla układu n punktów materialnych o masach mk i prędkości v k (rys. 7.12) pęd będzie równy sumie pędów poszczególnych punktów materialnych: v n x v C v 2 r k z y r Ck r C mk C O m1 v 1 v k m2 mn Rys. 7.12. Wyznaczenie pędu układu materialnego ∑ = = n 1 k k k m v p . (7.41) Wzór (7.41) można przedstawić w postaci: ∑ n 1 = k k k m dt d = r p . (a) Widzimy, że występująca pod znakiem pochodnej suma, zgodnie ze wzorem (4.18), jest momentem statycznym S rozpatrywanego układu materialnego względem początku nieruchomego układu współrzędnych x, y, z : ∑ = n 1 = k C k k m m = r r S . (b) Po podstawieniu wzoru (b) do wzoru (a) i wykonaniu różniczkowania wzór (7.41) możemy zapisać w postaci: dt d m m C n 1 k k k S v v p = = = ∑ = , (7.42) gdzie m jest masą całkowitą układu materialnego. Z otrzymanego wzoru wynika, że pęd układu materialnego jest równy iloczynowi masy całkowitej m układu materialnego i prędkości v C środka masy C. Ponadto wzór (7.42) pozwala na inne zdefiniowanie pędu. Pędem nazywamy pochodną względem czasu momentu statycznego układu materialnego względem nieruchomego punktu : dt d S p = . (7.43) Ponieważ moment statyczny względem środka masy jest równy zeru (patrz p. 4.4), zatem pęd układu materialnego względem środka masy jest także równy zeru. Pęd bryły sztywnej możemy obliczyć, dzieląc ją na elementy o masach ∆mk i traktując ją jako układ punktów materialnych. Przybliżoną wartość pędu otrzymamy po zsumowaniu pędów tych elementów, traktowanych jako punkty materialne. Z kolei wartość dokładną pędu otrzymamy po wyznaczeniu granicy sumy, gdy liczba elementów dąży do nieskończoności ∫ ∫ ∫ ∑ = = = = = ∞ → m m m n 1 k k k k dm dt d m dt d dm m lim r r v v p . Całka występująca w tym wzorze pod znakiem pochodnej jest momentem statycznym bryły względem początku układu współrzędnych:
(…)
… jest równy zeru:
W = 0,
popęd tego wektora jest również równy zeru, a z zasady pędu i popędu wynika, iż
pęd końcowy jest równy początkowemu:
p(t ) = p(0 ) ,
czyli pęd układu materialnego jest stały:
p = const .
(7.50)
Jest to zasada zachowania pędu:
Jeżeli wektor główny układu sił zewnętrznych działających na układ materialny
jest równy zeru, to pęd tego układu materialnego jest stały.
Gdy pęd układu materialnego przedstawimy w postaci iloczynu masy m
i prędkości vC środka masy, to z zasady zachowania pędu:
m v C = const
wynika, że środek masy porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.
Przykład 7.7. Klocek o masie m = 40 kg porusza się po równi pochyłej o kącie
nachylenia α = 30o pod działaniem siły będącej funkcją czasu P = P(t)
(rys. 7.14a). Miara tej siły zmienia się w czasie od 0 do P1 = 250 N…
…
statycznym bryły względem początku układu współrzędnych:
∫ r dm = m r
C.
m
Z uwzględnieniem powyższej zależności otrzymujemy wzór na pęd bryły:
p=
d
(m rC ) = m d rC = m v C .
dt
dt
(7.44)
Widzimy zatem, że pęd bryły, podobnie jak pęd układu materialnego, jest
równy iloczynowi jej masy i prędkości środka masy.
7.2.2. Zasada pędu i popędu. Zasada zachowania pędu
Rozpatrzymy obecnie układ składający się z n…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)