Wykład 9. Para zmiennych losowych 16 kwietnia 2012 Para dyskretnych zmiennych losowych Niech X i Y b˛ed ˛ a dyskretnymi zmiennymi losowymi okre´slonymi na przestrzeni zda- rze´n losowych S . Funkcja pX,Y jest okre´slona przez pX,Y ( x, y ) = P ( X = x, Y = y ) dla ka˙zdej pary warto´sci ( x, y ), która mo˙ze by´c przyjmowana przez par˛e zmiennych losowych ( X, Y ) z niezerowym prawdopodobie´nstwem. Funkcj˛e pX,Y b˛edziemy nazywa´c funkcj ˛ a prawdopodobie´nstwa pary dyskretnych zmien- nych losowych X i Y . Para dyskretnych zmiennych losowych – c.d. Funkcja pX,Y ( x, y ) spełnia warunki: • pX,Y ( x, y ) 0 dla wszystkich x i y ; • x y pX,Y ( x, y ) = 1; • P (( X, Y ) ∈ A ) = ( x,y ) ∈A pX,Y ( x, y ), gdzie A jest danym podzbiorem par uporz ˛ adkowanych ( x, y ) (par warto´sci, które mog ˛ a by´c przyjmowane przez ( X, Y )). Przykład Na uczelni W studenci s ˛ a oceniani za pomoc ˛ a ocen P 1 , P 2 i P 3; ocena P 1 jest naj- wy˙zsz ˛ a a P 3 najni˙zsz ˛ a z wymienionych ocen. Pod koniec 1-go roku studenci bioin- formatyki zdaj ˛ a egzaminy z matematyki i chemii. Oceny uzyskane przez studentów bioinformatyki na uczelni W w roku 2010 mo˙zna przedstawi´c za pomoc ˛ a tabelki: P1 (M) P2 (M) P3 (M) P1 (C) 3 13 4 P2 (C) 5 84 41 P3 (C) 7 33 10 P1 (M) oznacza ocen˛e P 1 z matematyki, P2 (C) ocen ˛ a P2 z chemii itd. Niech A ozna- cza zdarzenie polegaj ˛ ace na tym, ˙ze (losowo wybrany) student otrzymał z matematyki ocen ˛ a wy˙zsz ˛ a ni˙z z chemii. Mamy P ( A ) = 45 200 . 1 Dystrybuanta ł ˛ aczna dyskretnych zmiennych losowych Dystrybuanta ł ˛ aczna dyskretnych zmiennych losowych X i Y nazywamy funkcj˛e F okre´slon ˛ a wzorem F ( x, y ) = P ( X x, Y y ) = s x t y pX,Y ( s, t ) , gdzie pX,Y jest funkcj ˛ a prawdopodobie´nstwa dla pary zmiennych losowych X i Y . Para zmiennych losowych typu ci ˛ agłego Par˛e zmiennych losowych X i Y , okre´slonych na tej samej przestrzeni zdarze´n ele- mentarnych, b˛edziemy nazywa´c par ˛ a zmiennych losowych typu ci ˛ agłego, je´sli istnieje funkcja g˛esto´sci g , okre´slona na R 2, która spełnia własno´sci: • g ( x, y ) 0 dla ( x, y ) ∈ R 2; • ∞ −∞ ∞ −∞ g ( x, y ) dxdy = 1; • Dla zbioru A ∈ R 2 P (( X, Y ) ∈ A ) = ( x,y ) ∈A g ( x, y ) dxdy. (zakładamy, ˙ze dla zbioru A odpowiednia całka istnieje). Dystrybuanta ł ˛
(…)
… , która spełnia własno´ci:
e s
s
s
• g(x, y)
0 dla (x, y) ∈ R2 ;
•
∞
∞
−∞
−∞
g(x, y)dxdy = 1;
• Dla zbioru A ∈ R2
P ((X, Y ) ∈ A) =
g(x, y)dxdy.
(x,y)∈A
˙
(zakładamy, ze dla zbioru A odpowiednia całka istnieje).
Dystrybuanta łaczna pary ciagłych zmiennych losowej typu ciagłego
˛
˛
˛
Dla X i Y typu ciagłego dystrybuant˛ F definiujemy wzorem
˛
e
x
x, Y
y
−∞
F (x, y) = P (X
−∞
y) =
g(x, y)dxdy.
Rozkład brzegowy…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)