To tylko jedna z 3 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Charakterystyki liczbowe zmiennych losowych: warto´s´c oczekiwana i wariancja Wykład 15; 23 stycznia 2013 Warto´s´c oczekiwana zmiennej losowej dyskretnej Definicja 1. Dla zmiennej losowej dyskretnej X warto´s´c oczekiwana, je´sli istnieje, jest liczb ˛ a okre´slon ˛ a wzorem EX = i xipi, w którym sumowanie obejmuje wszystkie warto´sci zmiennej X . Uwaga Warto´s´c oczekiwana zmiennej losowej nazywana jest literaturze tak˙ze warto- ´sci ˛ a ´sredni ˛ a zmiennej losowej. W definicji tej zakładamy, ˙ze i xipi jest liczb ˛ a sko´n- czon ˛ a (w przypadku, gdy liczba składników jest niesko´nczona, zakładamy zbie˙zno´s´c sumy do granicy sko´nczonej). Warto´s´c oczekiwana mo˙ze by´c interpretowana jako "´srodek ci˛e˙zko´sci" układu punktów materialnych x 1 , x 2 , . . . o wagach p 1 , p 2 , . . . Własno´sci warto´sci oczekiwanej Łatwo wida´c, ˙ze warto´s´c oczekiwana zmiennej losowej Y = aX + b jest równa E ( aX + b ) = aEX + b (warto´s´c oczekiwana ma własno´s´c liniowo´sci). Je´sli warto´sci oczekiwane zmiennych losowych X 1 i X 2 istniej ˛ a i s ˛ a równe, odpowied- nio, µ 1 i µ 2 , to E ( X 1 + X 2) = µ 1 + µ 2 . Wariancja zmiennej losowej Definicja 2. Wariancj˛e zmiennej losowej X okre´slamy wzorem V arX = E ( X − µ ) 2 , gdzie µ = EX . Wariancja jest równa warto´sci oczekiwanej kwadratu odchylenia warto´sci zmiennej losowej od swojej warto´sci przeci˛etnej. Uwaga: W definicji tej nie zakładamy, ˙ze zmienna losowa X jest dyskretna. Zakłada- my natomiast istnienie warto´sci oczekiwanej E ( X − µ )2. Dla a 0 mamy: V ar ( aX + b ) = a 2 V ar ( X ) . Dla zmiennej dyskretnej X wariancja jest równa V arX = i ( xi − µ ) 2 p i. 1 Własno´sci wariancji rozkładu Widzimy, ˙ze wariancja jest tym wi˛eksza, im wi˛eksza jest ´srednia odległo´s´c punktów xi od ´srodka ci˛e˙zko´sci µ - warto´sci oczekiwanej. Je´sli wszystkie warto´sci xi s ˛ a sobie równe, wtedy wariancja jest równa zeru. Odchylenie standardowe Odchylenie standardowe zmiennej losowej X , oznaczane przez DX, definiujemy jako pierwiastek kwadratowy wariancji X . Odchylenie standardowe zmiennej losowej X czesto jest te˙z oznaczane greck ˛ a liter ˛ a σ . Mo˙zna pokaza´c, ˙ze dla a 0: D ( aX + b ) = aDX. (1) Warto´s´c oczekiwana i wariancja dla zmiennych losowych typu ciagłego Warto´s´c oczekiwana i wariancja zmiennej losowej X typu ci ˛ agłego zdefiniowana jest wzorami: µ = E ( X ) = ∞ −∞
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)