Wykład o charakterystyce liczbowej zmiennych losowych - wartość oczekiwana i wariancja

Nasza ocena:

5
Pobrań: 21
Wyświetleń: 4263
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Wykład o charakterystyce liczbowej zmiennych losowych - wartość oczekiwana i wariancja - strona 1 Wykład o charakterystyce liczbowej zmiennych losowych - wartość oczekiwana i wariancja - strona 2 Wykład o charakterystyce liczbowej zmiennych losowych - wartość oczekiwana i wariancja - strona 3

Fragment notatki:


Charakterystyki liczbowe zmiennych losowych: warto´s´c oczekiwana i wariancja Wykład 15; 23 stycznia 2013 Warto´s´c oczekiwana zmiennej losowej dyskretnej Definicja 1. Dla zmiennej losowej dyskretnej  X  warto´s´c oczekiwana, je´sli istnieje, jest liczb ˛ a okre´slon ˛ a wzorem EX  = i xipi, w którym sumowanie obejmuje wszystkie warto´sci zmiennej X . Uwaga Warto´s´c oczekiwana zmiennej losowej nazywana jest literaturze tak˙ze warto- ´sci ˛ a ´sredni ˛ a zmiennej losowej. W definicji tej zakładamy, ˙ze i xipi  jest liczb ˛ a sko´n- czon ˛ a (w przypadku, gdy liczba składników jest niesko´nczona, zakładamy zbie˙zno´s´c sumy do granicy sko´nczonej). Warto´s´c oczekiwana mo˙ze by´c interpretowana jako "´srodek ci˛e˙zko´sci" układu punktów materialnych  x 1 , x 2 , . . .  o wagach  p 1 , p 2 , . . . Własno´sci warto´sci oczekiwanej Łatwo wida´c, ˙ze warto´s´c oczekiwana zmiennej losowej  Y  =  aX  +  b  jest równa E ( aX  +  b ) =  aEX  +  b  (warto´s´c oczekiwana ma własno´s´c liniowo´sci). Je´sli warto´sci oczekiwane zmiennych losowych  X 1 i  X 2 istniej ˛ a i s ˛ a równe, odpowied- nio,  µ 1 i  µ 2 ,  to E ( X 1 +  X 2) =  µ 1 +  µ 2 . Wariancja zmiennej losowej Definicja 2. Wariancj˛e zmiennej losowej  X  okre´slamy wzorem V arX  =  E ( X − µ ) 2 , gdzie µ  =  EX . Wariancja jest równa warto´sci oczekiwanej kwadratu odchylenia warto´sci zmiennej losowej od swojej warto´sci przeci˛etnej. Uwaga: W definicji tej nie zakładamy, ˙ze zmienna losowa  X  jest dyskretna. Zakłada- my natomiast istnienie warto´sci oczekiwanej  E ( X − µ )2. Dla  a   0 mamy: V ar ( aX  +  b ) =  a 2 V ar ( X ) . Dla zmiennej dyskretnej  X  wariancja jest równa V arX  = i ( xi − µ ) 2 p i. 1 Własno´sci wariancji rozkładu Widzimy, ˙ze wariancja jest tym wi˛eksza, im wi˛eksza jest ´srednia odległo´s´c punktów  xi od ´srodka ci˛e˙zko´sci  µ - warto´sci oczekiwanej. Je´sli wszystkie warto´sci  xi  s ˛ a sobie równe, wtedy wariancja jest równa zeru. Odchylenie standardowe Odchylenie standardowe zmiennej losowej  X , oznaczane przez  DX,  definiujemy jako pierwiastek kwadratowy wariancji  X . Odchylenie standardowe zmiennej losowej  X czesto jest te˙z oznaczane greck ˛ a liter ˛ a  σ . Mo˙zna pokaza´c, ˙ze dla  a 0: D ( aX  +  b ) =  aDX. (1) Warto´s´c oczekiwana i wariancja dla zmiennych losowych typu ciagłego Warto´s´c oczekiwana i wariancja zmiennej losowej  X  typu ci ˛ agłego zdefiniowana jest wzorami: µ  =  E ( X ) = ∞ −∞ ... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz