Dyskretne zmienne losowe -c.d. Wykład 7; 26 marca 2012 Warto´s´c oczekiwana zmiennej losowej dyskretnej Definicja 1. Dla zmiennej losowej dyskretnej X warto´s´c oczekiwana, je´sli istnieje, jest liczb ˛ a okre´slon ˛ a wzorem EX = i xipi, w którym sumowanie obejmuje wszystkie warto´sci zmiennej X . Uwaga Warto´s´c oczekiwana zmiennej losowej nazywana jest literaturze tak˙ze warto- ´sci ˛ a ´sredni ˛ a zmiennej losowej. Warto´s´c oczekiwana mo˙ze by´c interpretowana jako „´srodek ci˛e˙zko´sci” układu punktów materialnych x 1 , x 2 , . . . o wagach p 1 , p 2 , . . . . Własno´sci warto´sci oczekiwanej Łatwo wida´c, ˙ze warto´s´c oczekiwana zmiennej losowej Y = aX + b jest równa E ( aX + b ) = aEX + b (warto´s´c oczekiwana ma własno´s´c liniowo´sci). Je´sli warto´sci oczekiwane zmiennych losowych X 1 i X 2 istniej ˛ a i s ˛ a równe, odpowied- nio, µ 1 i µ 2 , to E ( X 1 + X 2) = µ 1 + µ 2 . Wariancja zmiennej losowej Definicja 2. Wariancj˛e zmiennej losowej X okre´slamy wzorem V arX = E ( X − µ ) 2 , gdzie µ = EX . Wariancja jest równa warto´sci oczekiwanej kwadratu odchylenia warto´sci zmiennej losowej od swojej warto´sci przeci˛etnej. Dla a 0 mamy: V ar ( aX + b ) = a 2 V ar ( X ) . Dla zmiennej dyskretnej X wariancja jest równa V arX = i ( xi − µ ) 2 p i. 1 Własno´sci wariancji rozkładu Widzimy, ˙ze wariancja jest tym wi˛eksza, im wi˛eksza jest ´srednia odległo´s´c punktów xi od ´srodka ci˛e˙zko´sci µ - warto´sci oczekiwanej. Je´sli wszystkie warto´sci xi s ˛ a sobie równe, wtedy wariancja jest równa zeru. Odchylenie standardowe Odchylenie standardowe zmiennej losowej X , oznaczane przez DX, definiujemy jako pierwiastek kwadratowy wariancji X . Odchylenie standardowe zmiennej losowej X czesto jest te˙z oznaczane greck ˛ a liter ˛ a σ . Mo˙zna pokaza´c, ˙ze dla a 0: D ( aX + b ) = aDX. (1) Niezale˙zno´s´c zmiennych losowych Definicja 3. Mówimy, ˙ze zmienne losowe X i Y s ˛ a niezale˙zne, je˙zeli P ( X ∈ [ a, b ] ∧ Y ∈ [ c, d ]) = P ( X ∈ [ a, b ]) × P ( Y ∈ [ c, d ]) dla dowolnych przedziałów [ a, b ] i [ c, d ] . Intuicyjnie: niezale˙zne zmienne losowe odpowiadaj ˛ a realizacje liczbowe niezale˙znych zmiennych losowych. Przykład Rozwa˙zmy jeszcze raz do´swiadczenie losowe polegaj ˛ ace na wykonaniu przez zawod- nika A dwóch rzutów osobistych (prawdopodobie´nstwo trafienia jest równe 0 , 9). Niech Y 1 oznacza wynik pierwszego rzutu (0, je´sli A chybił, 1 je´sli A trafił) a
(…)
… rzutu. Przyj˛ li´my, ze zdarzenie trafienia/chybienia w drugim rzucie jest niezae s
˙
lezne od analogicznego zdarzenia w pierwszym rzucie. Przestrze´ zdarze´ elementarn
n
nych S = {(C, C), (C, T ), (T, C), (T, T )}
Przykład—c.d.
Mamy
P ((C, C)) = (0,1)2 = 0,01,
P ((C, T )) = P ((T, C)) = 0,1 × 0,9 = 0,09,
P ((T, T )) = (0,9)2 )2 = 0,81,
stad:
˛
P (Y1 = 0) = P ({(C, C), (C, T )} = 0,01 + 0,09 = 0,1,
P…
… Z o rozkładzie Poissona z paramec
trem λ :
E(Z) = λ oraz V ar(Z) = λ.
0.20
0.10
0.00
0.00
0.10
0.20
0.30
Bin(20;0.6)
0.30
Bin(7;0.6)
0
5
10
15
20
0
5
10
15
20
Rysunek 1: Wykresy słupkowe przedstawiajace rozkłady Bin(7; 0,6) oraz
˛
Bin(20; 0,6)
Wariancja X1 ∼ Bin(7; 0,6): 7 × 0,6 × 0,4 = 1,68 Wariancja X2 ∼ Bin(20; 0,6):
20 × 0,6 × 0,4 = 4,8 X2 jest bardziej „rozproszona”!
Lektura uzupełniajaca
˛
T. Bednarski…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)