To tylko jedna z 2 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Przykład 1.7. ObciąŜenie montaŜowe
Wyznaczyć siły w prętach przedstawionego układu prętowego wywołane wymuszonym
montaŜem spowodowanym błędną długością jednego pręta – mniejszą od wymaganej o ∆m.
Przekroje poprzeczne prętów oraz moduł Younga jak na rysunku. Wyznaczyć połoŜenie
węzła po połączeniu prętów.
l
l
l
E,2A
E,A
∆m
l
Rozwiązanie
Zadanie rozwiąŜemy metodą przemieszczeń wyraŜając wszystkie niewiadome za pomocą
przemieszczeń.
Wymuszony montaŜ oznacza, Ŝe mimo niedokładności wykonania prętów (układ
przedstawiony na rysunku) zostaną one połączone w jednym węźle. Wymaga to wstępnego
odkształcenia pręta i wywoła w całym układzie wstępny stan napręŜenia tzw. napręŜenia
montaŜowe. Wprowadzając oznaczenia sił w prętach zapiszemy równania równowagi dla
węzła swobodnego 1.
y
1
S2
S1
S3
x
Węzeł 1
1
1
+ S2
=0
2
2
1
1
+ S2
− S3 = 0
∑ Piy = 0 ⇒ S1
2
2
∑ Pix = 0 ⇒ −S1
(1,2)
Uzyskaliśmy układ 2 równań jednorodnych z 3 niewiadomymi. Brakujące równanie
uzyskamy z analizy warunków geometrycznych i fizycznych zadania.
Warunki fizyczne
WydłuŜenia prętów wynoszą:
S l
Sl
∆l1 = 1 1 ,
∆l 2 = 2 2 ,
E1A1
E 2A 2
∆l3 =
S3l 3
.
E 3A 3
(3,4,5)
Po uwzględnieniu danych mamy
S l
S 2l
S 2l
,
,
∆l1 = 1
∆l 2 = 2
∆l 3 = 3 .
EA
E 2A
EA
Stąd łatwo wyznaczamy siły w prętach za pośrednictwem wydłuŜeń
S1 =
2 EA
EA
∆l1 , S 2 = 2
∆l 2
2 l
l
, S3 = EA ∆l3 .
l
(3*,4*,5*)
Zapiszemy teraz równania geometryczne czyli wydłuŜenia prętów wyraŜone przez
przemieszczenia węzłów.
Przemieszczenie węzła 1 opiszemy składowymi u1, v1 wektora jego przemieszczenia. Opisują
one połoŜenie węzła 1 po połączeniu prętów
1
u1
V1
Równania geometryczne przyjmują postać
u
v
u
v
(6, 7, 8)
∆l1 = 1 + 1 ,
∆l 2 = − 1 + 1 , ∆l 3 = ∆ m − v1 .
2
2
2
2
W równaniu (8) uwzględnione zostało wstępne wydłuŜenie pręta 3 do węzła 1 o wielkość
błędu montaŜowego. Podstawiając otrzymane wyraŜenia do (3*-5*) otrzymujemy siły
wyraŜone przez przemieszczenia
1 EA
S1 =
(u1 + v1 ) , S2 = − EA (u1 − v1 ) , S3 = EA (∆ m − v1 ) ,
2 l
l
l
a po podstawieniu ich do równań równowagi dostajemy układ dwu równań względem dwu
niewiadomych przemieszczeń
1 EA
3 EA
2 l u1 − 2 l v1 = 0
2 EA
3 2 EA EA
EA
v1 −
−
u1 + −
+
∆m = 0
4 l
l
l
4 l
Z rozwiązania powyŜszego układu dostajemy
3
v1 =
∆ m ≅ 0.52∆ m
3+ 2 2
1
u1 =
∆ m ≅ 0.17 ∆ m
3+ 2 2
Węzeł przemieszcza się w załoŜonym kierunku. Przesunięcie w poziomie wynika z róŜnych
sztywności prętów 1 i 2. Jako ćwiczenie polecamy rozwiązanie tego zadania w przypadku
jednakowych przekrojów prętów.
2
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)