To tylko jedna z 48 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Materiał opracowano na podstawie podręcznika :
„Sterowanie i systemy dynamiczne ” autorstwa : Y. Takahashi M.J. Rabins D.M. Aulander Wydawnictwa Naukowo Techniczne Warszawa - 1976
Rozdział : Strony: 5-1 148-155 5-2 156-164 5-3 164-169 Modelowanie matematyczne układów technicznych
W rozdziale tym pokażemy m.in., w jaki sposób właściwości dynamiczne elementów i układów technicznych są powiązane z konstrukcjami matematycznymi, przy użyciu których opisujemy te układy. Ten krok, zwany modelowaniem matematycznym, jest bardzo istotny przy projektowaniu technicznym albo przy analizie problemów, ponieważ wiele następnych decyzji opiera się na wynikach uzyskanych z modelu matematycznego układu. Rodzaj modelu matematycznego i metody użyte do jego otrzymania zależą od badanego obiektu , oraz celu badania. W niniejszym rozdziale wprowadzimy uogólnione pojęcia rezystancji, pojemności i indukcyjności, celem uproszczenia zastosowania tego modelu matematycznego do wielu układów technicznych. Następnie omówimy połączenia nieliniowe tych układów, które wynikają z uwzględnienia oddziaływania wstecznego i nieidealnych źródeł. Na koniec zastosujemy metodę schematów blokowych do analizy układów używanych do realizacji standardowych praw sterowania.
5.1 Pojęcie układu
Naszym pierwszym krokiem od układu fizycznego (albo od pojęcia takiego układu) do modelu matematycznego jest wyodrębnienie układu oraz otoczenia . Układ i jego otoczenie są oddzielone od siebie za pomocą wyimaginowanych granic. Ograniczymy rozważania do takich układów technicznych, które współpracują z otoczeniem na zasadzie przechodzenia substancji lub energii poprzez granice układu. Pomocne w naszej analizie jest zdefiniowanie granic układu w taki sposób, żeby miejsca współdziałania można było dokładnie zlokalizować.
Definicja układu zależy nie tylko od treści fizycznej w nim zawartej, ale także od celu badania. Na przykład rozważmy elektrociepłownię. Jeżeli nasze zainteresowanie skoncentruje się na powiązaniach między elektrociepłownią a środowiskiem, tj. użytą ilością paliwa i wody chłodzącej, ilością wytwarzanej energii elektrycznej itd., to możemy zdefiniować jako przedmiot zainteresowania całą elektrociepłownię, tak jak to pokazano na rys. 5-la. Z drugiej strony możemy być przede wszystkim zainteresowani regulacją prędkości obrotowej turbogeneratora albo naprężeniami cieplnymi w wirniku turbiny. W takim przypadku zdefiniowaliśmy nowy układ, mianowicie taki, który byłby scharakteryzowany przez oddziaływania związane bezpośrednio z problemami, które nas interesują; być może układ na rys. 5-lb jest określony stosownie dla badania regulatora turbiny.
(…)
… (indukcyjność). Na rys. 5-2b widzimy różniczkowy element długości przewodu z ciśnieniami i przepływami zaznaczonymi na obu końcach elementu. Piszemy równanie równowagi pędu przez
Ciśnienie p Natężenie przepływu q Rys. 5-2 Układ przepływu cieczy
przyrównanie siły wypadkowej ( F) na elemencie do prędkości zmiany pędu przy czym jest gęstością cieczy w elemencie.
(5-1) Warunek ciągłości wiąże dopływ netto cieczy…
…
Elektryczny
wolt
Amper
om
farad
hern
dżul
Cieczowy
różnica poziomów (ciśnienie)
[m] lub [N/m2]
Przepływ objętościowy
[m3/s]
różnica poziomów
przepływ
[m/(m3/s)]
pole powierzchni [m2]
bezwładność
N/m2 m3/s2 dżul
Gazowy
ciśnienie
[N/m2]
Przepływ masowy
[kg/s]
ciśnienie
przepływ
N/m2 kg/s
masa
ciśnienie
..kg ..
N/m2 bezwładność
N/m2 kg/s2 dżul
Cieplny
temperatura
[K]
Strumień ciepła
[kcal/s]
temperatura
strumień
ciepła
..K....
kcal/s
ilość ciepła
temp.
[kcal/K]
-
Dżul (lub kilokaloria)
Mechaniczny
prędkość
[m/s]
Siła2) [N]
prędkość
siła
m/s
N
masa
[kg]
podatność
[m/N]
dżul 1) Dla układów mechanicznych obrotowych należy zastąpić prędkość przez prędkość kątową [rad/s]a siłę przez moment siły [Nm] 2) Ponieważ N m kg/s2, więc wypadkowy wymiar redukuje się do [m-1]. Większość wymiarów w tablicy przedstawiono…
…-26)
Jeżeli proces jest izotermiczny, to n = 1 i jest stale i wtedy element pojemnościowy jest liniowy. W innym przypadku jest on nieliniowy z powodu zmian temperatury.
Zastosowanie do układów cieplnych. W układach cieplnych temperatura i strumień ciepła są zmiennymi sygnałowymi, które zazwyczaj reprezentują potencjał i przepływ. Ten wybór prowadzi do analogicznych elementów cieplnych…
… cieplne do dwu: C1 dla płynu wewnętrznego i C2 dla płaszcza . Rezystancja dla całej powierzchni ogrzewania jest równa R. Pomińmy straty ciepła i przyjmijmy w1 i w2 jako iloczyny natężenia przepływu i ciepła właściwego dla każdego przepływu z temperaturami wlotowymi u1 i u2.
Wówczas równania równowagi cieplnej będą następujące:
(5-38)
przy czym drugie wyrazy po prawej stronie reprezentują ciepło wniesione…
…, u wektorem wejść, y wektorem wyjść, a G transmitancją (będącą funkcją wymierną operatora s). Nasze zadanie w tych rozdziałach sprowadza się do :
1) zadecydowania, czy można stosować teorię układów liniowych do danego problemu (tak jak to musieliśmy zadecydować w powyższym przykładzie);
2) sformułowania tych równań przy wykorzystaniu zmiennych i parametrów układu.
W wielu przykładach liniowość okazuje…
… ciecz
Rys. 5-4 Układ ze zbiornikiem z upływem Jak to pokazano w rozdz. 1, przy formułowaniu modelu liniowego dla układu z silną nieliniowością, taką jak zbiornik stożkowy, wprowadzamy pojęcie „punktu pracy" (zazwyczaj jest to punkt równowagi lub warunku początkowego) i posługujemy się aproksymacją styczną do krzywej nieliniowej w tym punkcie pracy celem zdefiniowania relacji zlinearyzowanej. Przykład…
… czas przy ustalonym dopływie qo i wobec tego przy ustalonej wysokości cieczy ho (równej Rqo) i że interesuje nas znalezienie efektu małych zmian dopływu. Przyjmujemy także, że opór R otworu jest stały. Definiujemy nowy zbiór zmiennych, które są odchyleniami od punktu pracy w stanie ustalonym , przy czym Prędkość zmian objętości cieczy w zbiorniku musi być w każdej chwili równa dopływowi netto cieczy…
… środowiska fizycznego; elektrycznego, płynowego, mechanicznego itd. Poprzednie doświadczenie prowadzi nas do wniosku, że jest to możliwe, ponieważ widzieliśmy, na przykładzie, że bez względu na środowisko ta sama klasa równań różniczkowych stosuje się do bardzo różnych fizycznie układów dynamicznych. W niniejszym punkcie rozpoczniemy formalizację ogólnego sposobu opisu układów dynamicznych…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)