To tylko jedna z 30 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Politechnika Śląska w Gliwicach
Wydział - M.T.
Teoria Sterowania
Materiał opracowano na podstawie podręcznika :
„ Sterowanie i systemy dynamiczne ”
autorstwa : Y. Takahashi M.J. Rabins D.M. Aulander
Wydawnictwa Naukowo Techniczne Warszawa - 1976
Modelowanie matematyczne układów technicznych
W rozdziale tym pokażemy m.in., w jaki sposób właściwości dynamiczne elementów i układów technicznych są powiązane z konstrukcjami matematycznymi, przy użyciu których opisujemy te układy. Ten krok, zwany modelowaniem matematycznym, jest bardzo istotny przy projektowaniu technicznym albo przy analizie problemów, ponieważ wiele następnych decyzji opiera się na wynikach uzyskanych z modelu matematycznego układu. Rodzaj modelu matematycznego i metody użyte do jego otrzymania zależą od badanego obiektu, np. układ z elektrycznymi wejściami i wyjściami można analizować podobnie jak układ cieplny, jeżeli interesuje nas wpływ temperatury na podstawową funkcję tego układu. Oczywiście, złożoność opisu matematycznego zależy także od celu badania. W niniejszym rozdziale wprowadzimy uogólnione pojęcia rezystancji, pojemności i indukcyjności, celem uproszczenia zastosowania tego modelu matematycznego do wielu układów technicznych. Następnie omówimy połączenia nieliniowe tych układów, które wynikają z uwzględnienia oddziaływania wstecznego i nieidealnych źródeł. Na koniec zastosujemy metodę schematów blokowych do analizy układów używanych do realizacji standardowych praw sterowania.
5.1 Pojęcie układu
Naszym pierwszym krokiem od układu fizycznego (albo od pojęcia takiego układu) do modelu matematycznego jest wyodrębnienie tej części wszechświata, która nas interesuje. Tę interesującą nas część nazywamy układem, a część wszechświata współdziałającą w jakiś sposób z układem nazywamy otoczeniem. Układ i jego otoczenie są oddzielone od siebie za pomocą wyimaginowanych granic. Ograniczymy rozważania do takich układów technicznych, które współpracują z otoczeniem na zasadzie przechodzenia substancji lub energii poprzez granice układu. Pomocne w naszej analizie jest zdefiniowanie granic układu w taki sposób, żeby miejsca współdziałania można było dokładnie zlokalizować.
Definicja układu zależy nie tylko od treści fizycznej w nim zawartej, ale także od celu badania. Na przykład rozważmy elektrociepłownię. Jeżeli nasze zainteresowanie skoncentruje się na powiązaniach między elektrociepłownią a środowiskiem, tj. użytą ilością paliwa i wody chłodzącej, ilością wytwarzanej energii elektrycznej itd., to możemy zdefiniować jako przedmiot zainteresowania całą elektrociepłownię, tak jak to pokazano na rys. 5-la. Z drugiej strony możemy być przede wszystkim zainteresowani regulacją prędkości obrotowej turbogeneratora albo naprężeniami cieplnymi w wirniku turbiny. W takim przypadku zdefiniowaliśmy nowy układ, mianowicie taki, który byłby scharakteryzowany przez oddziaływania związane bezpośrednio z problemami, które nas interesują; być może układ na rys. 5-lb jest określony stosownie dla badania regulatora turbiny.
(…)
… [m2]
bezwładność
N/m2 m3/s2 dżul
Gazowy
ciśnienie
[N/m2]
Przepływ masowy
[kg/s]
ciśnienie
przepływ
N/m2 kg/s
masa
ciśnienie
..kg ..
N/m2 bezwładność
N/m2 kg/s2 dżul
Cieplny
temperatura
[K]
Strumień ciepła
[kcal/s]
temperatura
strumień
ciepła
..K....
kcal/s
ilość ciepła
temp.
[kcal/K]
-
Dżul (lub kilokaloria)
Mechaniczny
prędkość
[m/s]
Siła2) [N]
prędkość
siła
m/s
N
masa
[kg]
podatność
[m/N]
dżul 1…
… rezystancję szeregową, która ma zazwyczaj równanie kwadratowe (przy dużych prędkościach zaczynają dominować efekty akustyczne w zachowaniu się układu) - patrz rys. 5-lOb. Przy małych zmianach przepływu można używać przybliżenia liniowego. Zbiornik (rys. 5-llb) jest w tej analogii pojemnością bocznikową i wobec tego musi być opisany przez równanie
= (5-23) w którym p1 = p2 [= p na rys. 5-llb] jest ciśnieniem…
… z powodu zmian temperatury.
Z powodu ściśliwości gazu indukcyjność szeregowa (bezwładność gazu) prawie zawsze występuje połączona z pojemnością bocznikową na poziomie mikroskopowym.
Zastosowanie do układów cieplnych. W układach cieplnych temperatura i strumień ciepła są zmiennymi sygnałowymi, które zazwyczaj reprezentują potencjał i przepływ. Ten wybór prowadzi do analogicznych elementów cieplnych…
… jest wektorem stanu, u wektorem wejść, y wektorem wyjść, a G transmitancją (będącą funkcją wymierną operatora s).Ponieważ omawialiśmy już szeroko metody rozwiązywania równań (5-13) do (5-15) i analizowaliśmy stabilność układu, nasze zadanie w tych rozdziałach sprowadza się do :
1) zadecydowania, czy można stosować teorię układów liniowych do danego problemu (tak jak to musieliśmy zadecydować w powyższym…
… równania liniowe i że wobec tego rozwiązania były słuszne przy dużych zmianach poziomu cieczy bez względu na konkretny stan początkowy. Jak to pokazano w rozdz. 1, przy formułowaniu modelu liniowego dla układu z silną nieliniowością, taką jak zbiornik stożkowy, wprowadzamy pojęcie „punktu pracy" (zazwyczaj jest to punkt równowagi lub warunku początkowego) i posługujemy się aproksymacją styczną do krzywej…
… nas do wniosku, że jest to możliwe, ponieważ widzieliśmy, co najmniej na przykładzie, że bez względu na środowisko ta sama klasa równań różniczkowych stosuje się do bardzo różnych fizycznie układów dynamicznych. W niniejszym punkcie rozpoczniemy formalizację ogólnego sposobu opisu układów dynamicznych przez, po pierwsze, zdefiniowanie uogólnionych zmiennych sygnałowych i następnie przez zdefiniowanie zbioru…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)