1 Procesy MGARCH Proces stochastyczny { ξ t , t ∈ } nazywamy n - wymiarowym procesem VECH-GARCH( p , q ) , je eli dla ka dego t ∈ : t n t t ε ξ 2 / 1 , = ) ( G ) ' ( A ) ( , 1 1 , n j t p j j i t i t q i i n t vech vech vech − = − − = Σ + + = Σ ξ ξ ω gdzie ) I , 0 ( ~ } { n t iiD ε , ω - wektor wymiaru [ n ( n +1)/2 ×1], A i , G j - macierze kwadratowe wymiaru n ( n +1)/2. Proces VECH-GARCH( p , q ) jest kowariancyjnie stacjonarny wtw, gdy warto ci własne macierzy + = = p j j q i i 1 1 G A s , co do warto ci bezwzgl dnej, mniejsze od jedno ci. Wówczas ω ξ ξ 1 1 1 * ] G A [ )) ' ( ( − = = − − = p j j q i i n t t I vech E , gdzie n* = n ( n+ 1)/2 (zob. Engle i Kroner [1995]). DVECH-GARCH( p, q ) - A i i G j macierze diagonalne 2 Proces R-GARCH( p , q ) t n t t ε ξ 2 / 1 , = , n t n t n t , , , ' R R = , ) R ( G | | A ) R ( , 1 1 , n j t p j j i t q i i n t vech vech − = − = + + = ξ ω , gdzie ) I , 0 ( ~ } { n t iiD ε , ω - wektor wymiaru [ n ( n +1)/2 × 1], G j - macierz kwadratowa wymiaru n ( n +1)/2, A i - macierz prostok tna wymiaru n ( n +1)/2 × n , R t,n , - dolnotrójk tna macierz kwadratowa, |ξ t | = (|ξ1 ,t |, ..., |ξ n,t |)′ Macierzowo-wykładniczy proces GARCH( p , q ) ( Matrix exponential GARCH, Exp-GARCH) t n t t ε ξ 2 / 1 , = ) C (ln G |)] (| | [| F A ) C (ln , 1 1 1 , − Σ + − + = − Σ − = − − = − = n j t p j j i t i t q i i i t q i i n t vech E vech ε ε ε gdzie ) I , 0 ( ~ } { n t iiD ε , A i , F i - macierze wymiaru n ( n +1)/2 × n , G j -macierz kwadratowa wymiaru n ( n +1)/2, C - macierz symetryczna wymiaru n × n 3 Proces BEKK-GARCH( p , q, K ) (Baba, Engle, Kraft i Kroner [1991], Engle i Kroner [1995]) t n t t ε ξ 2 / 1 , = jk n j t p j jk K k ik i t i t q i ik K k n t G ' G A ' ' A ' CC
(…)
… t −1 + F1[| ε t −1 | − E (| ε t −1 |)] +
+ G1vech(ln Σ t −1,n − C )
t ,n
[n(n3+6n2+7n+2)]/4
24, 78, 190, 390
[n(n3+4n2+5n+2)]/4
18, 60, 150, 315
= R t , n R t ,n '
vech(R t ,n ) = ω + A1 | ξ t −i | +G1vech(R t −1,n ) ,
t ,n
1
1/
= Dt ,n R t ,n Dt ,n , Dt ,n = Diag (h11/,2 ,..., hnn2t ) ,
t
,
R t ,n = R - macierz korelacji,
n(n+5)/2
7, 12, 18, 25
hii ,t = α i 0 + α iiξ i2t −1 + γ ii hii ,t −1…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)