1 ESTYMACJA MODELU GARCH (p,q) o warunkowym rozkładzie normalnym – MNW + + + + + + = = + = − − − − p t p t q t q t t t t t t t t t h h z z h iiN h z z x y γ γ α α α ε ε β ... ... ) 1 , 0 ( ~ 1 1 2 2 1 1 0 α0 0, α i ≥ 0, γ j ≥ 0 i = 1, 2 ,... q , j = 1, 2 ,... p. 1 1 1
(…)
… =( y1 , y2 ,…, yT )T– wektor obserwacji
y(0) = ( w0 ,…, w1-q , h0, …, h1-p )T – wektor warunków pocz tkowych
wt = yt − xt β
θ = ( β T , α1 ,...,α q , γ 1 ,..., γ p )' - wektor parametrów
α = (α1 ,..., α q , γ 1 ,..., γ p )'
yt | Ψt −1 ~ N ( xt β , ht )
Logarytm funkcji wiarygodno ci:
l = ln L(θ , y, y( 0 ) ) = −
T
1 T
1 T wt2
ln 2π −
ln ht −
2
2 t =1
2 t =1 ht
Logarytm funkcji wiarogodno ci maksymalizujemy numerycznie.
a
ˆ
θ MNW ~ N (θ , I (θ , y( 0) ) −1 ) , estymator jest zgodny
Podobnie jak dla ARCH(q):
Iαα = − E
∂ 2 ln L(θ , y, y( 0) )
∂α∂α T
=
1 T
1 ∂h ∂ht
E 2 t
.
2 t =1 ht ∂α ∂α T
Zgodnym estymatorem macierzy informacji jest;
1 T 1 ∂ht ∂ht
ˆ
Iαα =
2 t =1 ht2 ∂α ∂α T
∂ht
= ut +
∂α
p
j =1
γj
∂ht − j
∂α
ˆ
dla θ = θ MNW
,
gdzie ut = (1, wt2−1 ,..., wt2− q , ht −1 ,..., ht − p )'− wektor kolumna…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)