To tylko jedna z 2 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
14. Model liniowy. Estymatory najmniejszych kwadratów 1. Zadanie polega na oszacowaniu nieznanej wielko±ci µ za pomoc¡ jej po- miarów Yi, i = 1, . . . , n, obarczonych addytywnymi bª¦dami losowymi εi . Wówczas model liniowy ma posta¢ Yi = µ + εi i = 1, . . . , n. Wyznaczy¢ estymator parametru µ metod¡ najmniejszych kwadratów. 2. Niech µ1 oznacza ±redni¡ warto±¢ badanej cechy obiektu wykonanego pewn¡ technologi¡, a µ2 b¦dzie odpowiedni¡ ±redni¡ warto±ci¡ cechy dla obiektu wykonanego inn¡ technologi¡. Zbadano warto±¢ cechy w obu technologiach, mierz¡c jej warto±¢ na n1 obiektach wykonanych pierwsza technologi¡ i na n2 obiektach wykonanych druga technologi¡. Skonstruowa¢ model liniowy dla przeprowadzonego eksperymentu i wyz- naczy¢ estymator ró»nicy µ1 − µ2 metod¡ najmniejszych kwadratów. 3. Rozwa»my model prostej regresji liniowej postaci Yi = β0 + β1xi + εi, i = 1, . . . , n. Je±li wszystkie xi nie s¡ sobie równe, to estymatorami najmniejszych kwadratów parametrów s¡ ˆ β1 = (xi − ¯x)Yi (xi − ¯x)2 , ˆ β0 = ¯ Y − ¯x ˆ β1. Zauwa»y¢, »e je±li bª¦dy εi maj¡ rozkªady normalne N (0, σ2), to rozkªad parametrów jest te» normalny. Pokaza¢, »e Var ˆβ1 = σ2/ (xi − ¯x)2. Nast¦pnie sprawdzi¢, »e Cov( ¯Y , ˆβ1) = 0 oraz wyprowadzi¢ nast¦puj¡ce wzory: Cov( ˆ β0, ˆ β1) = −¯x Var ˆ β1, Var ˆ β0 = σ 2 1 n + ¯ x2 (xi − ¯x)2 . 4. Rozwa»my model liniowy postaci Yi = β0 + β1xi + β2x 2 i + εi, i = 1, . . . , n. Pokaza¢, »e parametry mo»na wyestymowa¢ metod¡ najmniejszych kwa- dratów, je±li w±ród x1, . . . , xn znajduj¡ si¦ co najmniej trzy ró»ne warto±- ci. Wypisa¢ i rozwi¡za¢ ukªad równa« normalnych. 1 5. Niech Y1, Y2, Y3, Y4 b¦d¡ wynikami pomiarów k¡tów θ1, θ2, θ3, θ4 pewne- go czworok¡ta na powierzchni ziemi. Zakªadaj¡c, »e obserwacje s¡ obci¡»one addytywnymi bª¦dami, które s¡ niezale»ne, maj¡ warto±¢ oczekiwan¡ równ¡ 0 i wspóln¡ nieznan¡ wariancj¦ σ2, wyznaczy¢ meto- d¡ najmniejszych kwadratów estymatory wielko±ci k¡tów i nieobci¡»ony estymator wariancji. Rozwi¡za¢ analogiczne zadanie przy dodatkowym zaªo»eniu, »e czworo- k¡t jest równolegªobokiem i θ1 = θ3 oraz θ2 = θ4. 2
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)