metody wyznaczania estymatorów - omówienie

Nasza ocena:

3
Pobrań: 434
Wyświetleń: 1771
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
metody wyznaczania estymatorów - omówienie - strona 1 metody wyznaczania estymatorów - omówienie - strona 2 metody wyznaczania estymatorów - omówienie - strona 3

Fragment notatki:

Metody wyznaczania estymatorów.
Jeśli nie jest oczywiste jaką statystykę należy wybrać jako kandydata na estymator, z pomocą
przychodzą różne metody ich wyznaczania:
1. Metoda momentów (Pearsona).
2. Metoda największej wiarygodności (Fishera).
3. Metoda najmniejszych kwadratów.
Metoda momentów.
Metoda ta polega na przyjmowaniu za oszacowanie nieznanych momentów cechy X elementów
populacji generalnej, zaobserwowanych wartości momentów empirycznych. Estymatory uzyskane
metodą momentów mają tę zaletę, że znajdowanie ich wartości jest związane na ogół z prostymi
obliczeniami. Istotną ich wadą jest natomiast ich mała na ogół efektywność (za wyjątkiem, gdy cecha X
ma rozkład normalny).
Przyjmijmy, że parametr θ jest jednoznacznie określony przez wartości pierwszych k momentów
teoretycznych cechy. Oznacza to, że:
θ = f (m1 ,..., mk ) . Estymator θˆ = f ( M 1 ,..., M k ) , gdzie Mi
są empirycznymi odpowiednikami momentów zwykłych mi. W szczególności jeśli parametr θ jest
funkcją tylko pierwszego momentu teoretycznego m, to estymator jest funkcją statystyki X .
Metoda największej wiarygodności
Idea metody największej wiarygodności polega na oszacowaniu nieznanych parametrów tak, aby
empiryczne dane były przy tym oszacowaniu najbardziej prawdopodobne. Dla znalezienia takiego
estymatora konstruuje się funkcję wiarygodności L.
Niech rozkład zmiennej losowej dyskretnej X zależy od wektora parametrów θ = (θ 1 ,...,θ n ) lub w
szczególności od jednego parametru θ . Niech ( x1 , x 2 ,..., x n ) będzie zaobserwowaną wartością próby
prostej ( X 1 , X 2 ,... X n ) z populacji generalnej mającej cechę X. Dla przypadku dyskretnego funkcję
wiarygodności określa się wzorem:
L(θ ) = L( x1 , x 2 ,..., x n ;θ ) = p( x1 ;θ ) p( x 2 ;θ )... p( x n ;θ ) gdzie p ( xi ;θ ) = P( X = xi ) .
Dla cechy typu ciągłego o gęstości f ( x,θ ) , funkcja wiarygodności określona jest wzorem:
L(θ ) = L( x1 , x 2 ,..., x n ;θ ) = f ( x1 ;θ ) f ( x 2 ;θ )... f ( x n ;θ )
Estymatorem parametru θ jest ta jego wartość, przy której funkcja wiarygodności osiąga wartość
największą. Jeśli funkcja L jest różniczkowalna, to jej maksimum można znaleźć, szukając miejsca
zerowania się pochodnych cząstkowych ∂L / ∂θ i . Ponieważ funkcja L jest iloczynem funkcji, to
wygodniej jest badać pochodne nie funkcji wiarygodności L, a jej logarytmu ln L. Pozwala to na znaczne
uproszczenie obliczeń. Można bowiem warunek konieczny wystąpienia maksimum funkcji L zapisać
jako:
∂ ln L
= 0 dla i =1,2, ... ,n
∂θ i
Ta równość tworzy układ n równań o n niewiadomych i jeśli funkcja L ma maksimum, to estymatory
można wyznaczyć z tego układu równań. Uzyskanie estymatorów metodą największej wiarygodności
może być kłopotliwe ze względów rachunkowych.
Przykład:
λe − λx dla x ≥ 0,
Dla rozkładu wykładniczego z parametrem λ 0: f ( x) = 
dla x ... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz