Metody i algorytmy optymalizacji dr Helena Spyra Wykład 8
Punkt (X*,U*), X* € S, U* ≥ 0 nazywamy punktem siodłowym funkcji Lagrange'a
jeżeli dla każdego X € S i U ≥ 0 zachodzi L(X*,U) ≤ L(X*,U*) ≤ L(X,U*) Przy ustalonym U* ≥ 0 funkcja L(X,U*) osiąga swe minimum nad S w punkcie X* € S, a przy ustalonym X* € S, L(x*,u) osiąga w punkcie U* ≥ 0 swe maksimum.
Własności punktu siodłowego funkcji Lagrange'a Niech U* ≥ 0 i X*€ S
Punkt (X*, U*) jest punktem siodłowym funkcji Lagrange'a wtedy i tylko wtedy, gdy są spełnione warunki:
X* minimalizuje L(X,U*) na zbiorze S,
gi(X*) ≤ 0 i=1,…,r,
c) ui* gi(X*)= 0 i=1,…,r.
Warunki dostateczne optymalności rozwiązania zadania programowania matematycznego
Jeżeli punkt (X*, U*), X* € S, U* ≥ 0 jest punktem siodłowym funkcji Lagrange'a , to X* jest rozwiązaniem optymalnym zadania programowania matematycznego. Zbiór D jest wypukły, gdy dla dowolnych X1, X2 € D oraz dowolnych punkt również należy do zbioru.
Niech:
D= { X: gi(X) ≤ 0, i =l,...,r}
Punkt X1 jest punktem wewnętrznym zbioru D, gdy dla wszystkich i= 1,...,r, gi (X1)
(…)
…
przy ograniczeniach: gk (X) ≤ 0 k=1,...,r
w którym f (X) i gk (X) są klasy C1 i jest punktem regularnym obszaru rozwiązań dopuszczalnych D,
to istnieje wektor U* taki, że spełnione są relacje: a) U* ≥ 0,
b) c) w punkcie optymalnym wektor przeciwny do gradientu funkcji kryterium można przedstawić jako nieujemną kombinację gradientów, ograniczeń aktywnych w tym punkcie.
W punkcie optymalnym gradient funkcji kryterium…
… i jest punktem regularnym obszaru rozwiązań dopuszczalnych D, to istnieje wektor U*, dla którego są spełnione relacje:
c) X* ≥ O
d) gk(X*) ≤ 0, k=l,...,r, e) uk*gk(X*) = 0 f) U* ≥ 0
Jeżeli funkcje f (X) i gk (X) k = 1,...,r są wypukle, to określone warunki są również dostatecznymi warunkami na ekstremum warunkowe. Przykład
f (x) = - (x1 - 2)2 - (x2 - 2)2 przy warunku h(x) = x12 + x22 - 52 ≤ 0 Tworzymy funkcję…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)