Metody i algorytmy optymalizacji- wykład 3

Nasza ocena:

5
Pobrań: 308
Wyświetleń: 1302
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Metody i algorytmy optymalizacji- wykład 3 - strona 1 Metody i algorytmy optymalizacji- wykład 3 - strona 2 Metody i algorytmy optymalizacji- wykład 3 - strona 3

Fragment notatki:

Metody i algorytmy optymalizacji dr Helena Spyra Wykład 3
EKSTREMA FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH O CIĄGŁYCH POCHODNYCH CZĄSTKOWYCH
Punkt X^= (x1^,x2^) € R2 jest punktem stacjonarnym funkcji f (x1, x2). Jeżeli funkcję tę można w otoczeniu punktu X^ rozwinąć w szereg Taylora, to
przy czym przyrosty Δx1, Δx2 przyjmują małe wartości Δx1 ≡ ευ1 , Δx2 ≡ ευ2 ε mała liczba, ustalona
υ1,υ2 — dowolne liczby, zmienne
W punkcie stacjonarnym X^ jest i jeżeli składnik rzędu ε2 nie znika, to σ(ε2) dąży do zera szybciej niż ε2 jeżeli składnik rzędu ε2 nie znika, to na zachowanie się funkcji w otoczeniu punktu X^ decydujący wpływ ma funkcja A(v1,v2) = W zależności od wartości współczynników aij funkcja A (v1 ,v2) może przedstawiać :
paraboloidę eliptyczną paraboloidę hiperboliczną walec paraboliczny (leżący) ba­danie zachowania się funkcji f (xlx2) w bliskim otoczeniu jej punktu stacjonar­nego możemy sprowadzić do badania funkcji A (v1 v2) w całym zakresie zmien­ności v1 i v2 ; dla dostatecznie małych wartości przy­rostów Δx1, Δx2,
lokalnie w otoczeniu punktu stacjonarnego X^ charakter wykresu funkcji f (x1, x2) przybliża wykres funkcji
liczbę ε traktujemy jako ustaloną, powierzchnia będąca wykre­sem funkcji A'(Δx1, Δx2) w układzie współrz.Δx1, Δx2 jest tego samego typu co A (v1, v2) w ukł. współrz. v1 , v2.
a)
w dostatecznie małym otoczeniu punktu X^ zachowanie się funkcji f (x1,x2) przybliża paraboloida eliptyczna wypukła , lub wklęsła jej poziomice określone równaniem A'(Δx1, Δx2) = A^ są elipsami.
Zawsze możemy dokonać takiego obrotu układu współrzędnych v1,v2, iż paraboloidę elip­tyczną będącą wykresem funkcji A(v1,v2) w nowych współrzędnych v1/,v/2 można przedstawić w postaci a11/ 0, a22/ 0; jeżeli γ 0, to paraboloida eliptyczna jest wy­pukła jeżeli γ

(…)

… spłaszczone b) min spłaszczone nie istnieje
Macierz nazywamy hesjanem f(x1, x2) w punkcie x = (x1, x2)
istnienie i postać ekstremum funkcji f(x) w punkcie stacjonarnym zależy od charakteru formy kwadratowej A (v1, v2), od jej określoności lub półokreśloności. Jeżeli dla wszystkich wektorów v ≠ 0 zachodzi nierówność to formę kwadratową A (v1, v2) (macierz hesjanu) nazywamy dodatnio lub ujemnie określoną…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz