Zestaw 4 1. W zbiorze R+ liczb rzeczywistych dodatnich określamy działania: ∀ x, y ∈ R+ x ◦ y = xy, ∀ α ∈ R ∀ x ∈ R+ α ∗ x = x α. Sprawdzić, czy struktura (R+, R, ◦, ∗) jest przestrzenią wektorową (liniową). 2. Zbadać, który z podanych zbiorów U, W jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni liniowej V = R 2(R): U = (x, y) : 9x 2 + 12xy + 4y2 = 0 , W = (x, y) : 3x 2 + 5xy − 2y2 = 0 . 3. Niech X = (x1, x2, x3) ∈ R 3 : x1 + x2 + x3 = 0 . (a) Wykazać, że X (R) jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni liniowej R 3(R). (b) Wyznaczyć dowolną bazę tej podprzestrzeni oraz znaleźć dim X. 4. Wykazać, że podzbiór wektorów liniowo niezależnych jest również zbiorem wektorów liniowo niezależnych. 5. Sprawdzić, czy podane zbiory wektorów Bi są bazami w przestrzeni wektorowej R 3(R): (a) B1 = {(1, 0, 1) , (1, 2, 2)} , (b) B2 = {(1, 0, 1) , (1, 2, 2) , (0, 1, 1)} , (c) B3 = {(1, 0, 1) , (1, 2, 2) , (2, 2, 3)} , (d) B4 = {(1, 0, 1) , (1, 2, 2) , (0, 1, 1) , (2, 3, 4)} . 6. Zbadać, czy zbiór B = x + 1, x2 + 1, x2 + 2x + 2 stanowi bazę przestrzeni wektorowej R2[x] , tzn. przestrzeni wektorowej wielomianów zmiennej rzeczywistej stopnia mniejszego lub równego dwa. 7. Wykazać, że wektory x = x1 x2 i y = y1 y2 przestrzeni wektorowej R 2(R) są liniowo zależne wtedy i tylko wtedy, gdy det x1 y1 x2 y2 = x1y2 − x2y1 = 0. 8. Znaleźć taką wartość parametru α, by wektory v1 = (1, 2, 3) , v2 = (3, 2, 1) , v3 = (4, α, 5) stanowiły bazę przestrzeni R 3(R) . 9. W przestrzeni wektorowej V (R) rozważmy trzy wektory a, b, c. Niech u = b + c, v = c + a, w = a + b. Wykazać, że wektory u, v, w są liniowo niezależne wtedy i tyko wtedy, gdy a, b, c są liniowo niezależne. 10. Znaleźć wymiar i wyznaczyć bazę przestrzeni wektorowej rozwiązań jednorodnego układu równań liniowych: x − y + 2z − t = 0 2x − y + z + 3t = 0 . 11. Rozważmy przekształcenie L : R 3 (x1, x2, x3) → (2x1 + x2 − x3, x1 + x2 + 2x3) ∈ R 2. Wykazać, że L jest prze- kształceniem liniowym oraz podać dim KerL.
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)