Matematyka - twierdzenie Taylora

Nasza ocena:

3
Pobrań: 7
Wyświetleń: 511
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Matematyka - twierdzenie Taylora - strona 1 Matematyka - twierdzenie Taylora - strona 2 Matematyka - twierdzenie Taylora - strona 3

Fragment notatki:


  1  Twierdzenie Taylora    Zało enie  [ ] ( ) ( ) (  x x D f x x C f n , , 0 0 1 ∈ ∧ ∈ −     Teza  ( ) ( ) ( )( ) ( ) c R x x k x f x f x x c n n k k k + − = ∈ ∃ − = 1 0 0 0 ) ( 0 ! : , , gdzie  ( ) ( )( ) n n n x x n c f R 0 ! − =   n R   -  n -ta  reszta  (w postaci Lagrange’a)           lub inaczej  n -ty   d rozwini cia  Taylora funkcji   f    umowa:  ( ) f f = : 0   ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n + − − + + − ′ + − ′ + = − − 1 0 0 1 2 0 0 0 0 0 ! 1 ! 2 ! 1     Uwaga  1.  Dla  1 = n  twierdzenie staje si  twierdzeniem Lagrange’a.    2.  W ogólnym przypadku twierdzenie pokazuje,  e funkcj    f   mo na przybli y  wielomianem  stopnia  1 − n ,   ( ) ( )( ) − = − ≈ 1 0 0 0 ) ( ! n k k k x x k x f x f   natomiast reszta  n R  pozwala oszacowa   bł d bezwzgl dny   ( ) c R n  gdy znana jest  najwi ksza warto   ( ) ( ) x f n .      Dowód  Niech:  ( ) ( ) ( ) ( )( ) − = − − = 1 0 ! : n k k k t x k t f x f t ϕ  dla  [ ] x x t , 0 ∈   ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 0 1 1 1 1 1 1 1 : 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 0 1 1 ! 1 ! 1 ! ! ! 1 ! ! 1 ! 0 ! − − − = + − = + − = − = − − = + − = − + − = − − − = ′ + − − − ′ − = = − + − − ′ − = − − + + − − ′ − = − − − − − ′ − = ′ = = − − − = n n n n n j j j n k k k n k k j k k n k k k n k k k k k n n k k k t x n t f t f t x n t f t f t x j t f t x k t f t f t x k t f t x k t f t f t x k t f t x k t f t f t c R x x t x k t f t f x f t ϕ ϕ ϕ ϕ     2  Niech   ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 ... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz