Matematyka - ciągi liczbowe - definicje i interpretacja

Nasza ocena:

3
Wyświetleń: 875
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Matematyka - ciągi liczbowe - definicje i interpretacja - strona 1 Matematyka - ciągi liczbowe - definicje i interpretacja - strona 2 Matematyka - ciągi liczbowe - definicje i interpretacja - strona 3

Fragment notatki:

CIĄGI LICZBOWE •  Definicja ciągu liczbowego : Ciągiem liczbowym (rzeczywistym) nazywamy funkcję odwzorowującą zbiór liczb  naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R.  •  Oznaczenia : (an) – ciąg liczb rzeczywistych lub ciąg liczbowy an – n-ty wyraz ciągu n – wskaźnik •  Przykłady : 1. an=n 2. an=1- n 1 3. określony wzorem rekurencyjnym: a1= 3 , an+1= n a + 3 •  Interpretacja geometryczna :            an                  a6  Ciąg (an) jest zbiorem punktów (n,an) na płaszczyźnie a5 a4 a3 a2 a1   n                     1    2       3    4    5    6   OGRANICZONOŚĆ CIĄGU •  Definicja ciągu ograniczonego: Ciąg (an) nazywamy ograniczonym: 1) z dołu, jeśli  n N n R M a m ≤ ∧ ∨ ∈ ∈ 2) z góry, jeśli  M a n N n R M ≤ ∧ ∨ ∈ ∈ 3) ograniczonym, jeśli  M a m n N n R M m ≤ ≤ ∧ ∨ ∈ ∈ , ( ) * * M a n N n R M ≤ ∧ ∨ ∈ ∈ M* = min (m,M) •  Przykłady: 1)  2 1 + + = n n a n       1 0 ≤ ≤ ∧ ∈ n N n a     an – ciąg ograniczony 2)  an=3-cos(n’)2 -1cos(n’)2≤1 / ∙ (-2) -2≤-2cos(n’)2≤2 / +3 1≤3-2cos(n’)2≤5 1≤an≤5 3) an=log2n   MONOTONICZNOŚĆ •  Definicja ciągu monotonicznego: Ciąg (an) nazywamy: 1) ciągiem rosnącym     (ściśle rosnącym), jeśli  1 + ∈ ∧ n n N n a a 4) ciągiem nierosnącym     (słabo malejącym), jeśli  1 + ∈ ≥ ∧ n n N n a a 5) ciągiem stałym    , jeśli  1 + ∈ = ∧ n n N n a a Ciągi rosnące, malejące, słabo rosnące, słabo malejące i stałe nazywamy ciągami  monotonicznymi. •  Przykłady: Zbadać monotoniczność ciągów: a)  2 1 + + = n n a n 0 ) 2 )( 3 ( 1 ) 2 )( 3 ( 3 4 4 4 ) 2 )( 3 ( ) 3 )( 1 ( ) 2 )( 2 ( 2 1 3 2 2 2 1 + + = + + − − − + + = + + + + − + + = + + − + + = − + n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a n n an+1-an0 an+1an Ciąg (an) jest ciągiem rosnącym. JEŚLI  0 ∧ ∈ n N n a , to    1 1 + n n a a   c. rosnący 1 1 ≥ + n n a a   c. słabo rosnący 1 1

(…)

…) - nie istnieje
n→ ∞
n

Twierdzenie o trzech ciągach:
lim a n = lim c n = g , a ponad to istnieje taka liczba δ0, że dla każdego n> δ0 spełniona
Jeżeli n→ ∞
n→ ∞
jest nierówność: an < bn < cn, to lim bn = g
n→ ∞
DOWÓD: Niech ε będzie dowolną ustaloną liczbą, ε>0. Ponieważ
lim a n = g ⇔ ∧ ∨ ∧ a n − g < ε ⇒ − ε < a n − g < ε
n→ ∞
ε > 0 δ 1 n> δ 1
g - ε< an < g + ε
lim c n = g ⇔ ∧ ∨ ∧ c n − g < ε ⇒ − ε < c n − g…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz