Matematyka - aproksymacja i interpolacja, Metoda stycznych (Newtona)

Nasza ocena:

3
Pobrań: 49
Wyświetleń: 2380
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Matematyka - aproksymacja i interpolacja, Metoda stycznych (Newtona) - strona 1

Fragment notatki:


Cała notatka to tak naprawdę poszczególne metody opisane kroczek po kroczku, czyli bardzo powoli i dokładnie, tak aby każdy mógł zrozumieć. Pojęcia to: obliczanie miejsc zerowych metodą stycznych (Newtona), całkowanie metodą trapezów, całkowanie metodą Simpsona, metoda Runge-Kutty, interpolacja, różniczkowanie Eulera, aproksymacja.

Obliczanie miejsc zerowych metodą stycznych (Newtona):
W jednym z końców przedziału (A, B) prowadzimy styczną do wykresu funkcji, która przecina oś x w punkcie o odciętej x1 leżącym między punktami o odciętych a i b.
Liczba x1 to pierwsze przybliżenie pierwiastka x0. Łuk krzywej y=f(x) zastępujemy odcinkiem stycznej.
x1=b- [f(b)/f `(b)] (jeżeli prowadziliśmy styczną z punktu B)
Jeżeli pierwiastek x1 nie spełnia wymaganej dokładności (f(x1) > ε (ε- wymagana dokładność)) to wtedy znajdujemy kolejne przybliżenie x2, gdzie x2 jest odciętą punktu przecięcia się stycznej poprowadzonej w punkcie D(x1, f(x1))
Całkowanie metodą trapezów:
Dzielimy przedział [a, b] na n równych części. Ich długość h=(b-a)/n, a ich punkty mają odcięte: x0=a, x1=a+(b-a)/n, x2=a+2*((b-a)/n) itd.
Rzędne tych punktów to y0=f(a), yi=f(xi), yn=f(b)
Łącząc cięciwami każde 2 sąsiednie z rozważanych punktów krzywej, otrzymujemy n trapezów. Wysokość każdego z nich to (b-a)/n a ich podstawami są rzędne y0, y1...
Suma pól to Sn=0,5*[(b-a)/n]*[y0+yn+2(y1+y2+...+yn-1)]
Wartością całki jest Sn.
Całkowanie metodą Simpsona:
Częściowe łuki krzywej zastępujemy parabolami. Dzielimy przedział [a, b] na parzystą liczbę n=2m równych części za pomocą punktów: a=x0, x1, x2, x2m-2, x2m-1, x2m=b
Długość każdej części wynosi (b-a)/2m
Wartości funkcji to: yi=f(xi)
Sn=[(b-a)/3n]*[y0+y2m+2(y2+y4+...+y2m-2) +4(y1+y3+...+y2m-1)]
Metoda Runge-Kutty:
Dane jest równanie y'=f(x,y) z warunkiem początkowym y0=y(x0)
Wartości kolejnych współrzędnych punktów wyznaczamy ze wzoru:
y(x+h)=y(x)+(1/6)*(k0+2k1+2k2+k3) gdzie
k0 = h*f(x,y)
k1 = h*f(x+0,5h, y+0,5k0)
k2 = h*f(x+0,5h, y+0,5k1)
k3 = h*f(x+h, y+k2) gdzie h to krok metody.
Interpolacja:
xi < ξ <xi+1 = xi+h (gdzie h -krok tablicowy, ξ -dana wartość argumentu)
f(ξ) = f(xi) + [(ξ-xi)/h]*[f(xi+h)-f(xi)]
Różniczkowanie Eulera:
Przedział: [x0,x], warunek początkowy: y(x0)=y0
Przedział [x0,x] dzielimy na n części za pomocą punktów x0, x1... xn=x
W punktach podziału wykreślamy proste prostopadłe do osi x
yi = yi-1+f(xi-1, yi-1)(x-xi-1)
Aproksymacja:
y=ax+b
For i = 1 To n
sumax = sumax + tablica(1, i)
sumay = sumay + tablica(2, i)
sumaxy = sumaxy + tablica(1, i) * tablica(2, i)
sumax2 = sumax2 + tablica(1, i) * tablica(1, i)
Next
a = (sumax * sumay - n * sumaxy) / (sumax * sumax - n * sumax2)
b = (sumax * sumaxy - sumay * sumax2) / (sumax * sumax - n * sumax2) ... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz