Matematyczny model wnioskowania statystycznego

MATEMATYCZNY MODEL WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO Definicja próby losowej prostej Niech F(x) oznacza dystrybuantę rozkładu cechy X w populacji.
Próbą losową prostą pobraną z populacji o dystrybuancie F(x) nazywamy ciąg zmiennych losowych:
X 1 , X 2 , ... ,X n gdzie: X n - oznacza zmienne losowe
x - realizacja zmiennej losowej
spełniających następujące dwa warunki:
1) F(x 1 ,x 2 ...,x n )= F 1 (x 1 )*F 2 (x 2 )*....* F n (x n )
ciąg zmiennych losowych od x 1 , x 2 jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych
2) F 1 (x i )= F 2 (x i )= ... =F n (x i )= F(x i )
dla każdego i.
rozkłady zmiennych losowych X 1 ,X 2 do X n są identyczne, takie jak rozkład cechy X w populacji
Ciąg liczb x 1 ,x 2 ...,x n nazywamy realizacją próby losowej prostej.
Definicja statystyki z próby Statystyką z próby nazywamy dowolną funkcję zmiennych losowych generujących obserwacje w próbie:
g(x 1 ,x 2 ...,x n ) Przykłady statystyki z próby:
- średnia z próby
- wariancja z próby
- odchylenie standardowe z próby
- frakcja (proporcja wyróżnionych elementów) Dlaczego średnia z próby jest zmienną losową:
średni wzrost w populacji nie jest zmienną losową (bo jak każdego zmierzę i policzę średnią to otrzymam średni wzrost- to jest jedna liczba); ja losuje próbę, losuję 5 studentów (otrzymam inną średnią) inni też losowali 5 studentów ( i załóżmy, że każdy otrzymał inną średnią) i to będzie rozkład średniej z próby 5 elementowej. Jak liczebność próby rośnie to rozproszenie maleje.
Rozkład średniej arytmetycznej z próby
Przypadek 1 . Próba pochodzi z dowolnego rozkładu populacji
Udowodnimy prawdziwość twierdzenia Twierdzenie 1 Jeżeli X 1 ,X 2 do X n stanowi próbę losową prostą
z dowolnego rozkładu o wartości oczekiwanej (średniej) µ i wariancji σ 2 , to w rozkładzie średniej z próby:
przeciętnie średnia z próby daje średnią z populacji
Dowód: Przypadek 2. Próba pochodzi z rozkładu normalnego.
Twierdzenie 2. Jeżeli jest średnią arytmetyczną z n elementowej próby pobranej z rozkładu normalnego o wartości oczekiwanej i wariancji , to rozkład średniej z próby jest także normalny o wartości oczekiwanej i wariancji Czy dla przypadku 1 możemy także powiedzieć coś o postaci analitycznej rozkładu średniej z próby?

(…)

….
Wykład V
Rozkład wariancji z próby:
S2 = 1/n* Ʃ(Xt- średnia (x))
Twierdzenie 4.
Jeżeli średnia z próby X(średnia) i wariancja z próby S^2 są statystykami z próby losowej n elementowej pobranej z rozkładu normalnego N(ע, б)
Statystyka x(średnia) i S2 są niezależne;
Statystyka (n*s2)/ б2 ma rozkład chi-kwadrat o (n-1) stopniach swobody.
Liczba stopni swobody jest jedyną charakterystyką funkcji gęstości rozkładu chi- kwadrat.
2. Rozkład chi- kwadrat - jest rozkładem o prawostronnej asymetrii, zmniejszającej się wraz ze wzrostem liczby stopni swobody - k.
E(χ2)= k, var(χ2)= 2k
Wartości zmiennej losowej chi-kwadrat zostały stablicowane.
Rozkład t- Studenta (w formie twierdzenia)
Jeżeli zmienna losowa Z ma rozkład normalny standaryzowany, a zmienna losowa χ^2 ma rozkład chi-kwadrat z r stopniami swobody, oraz zmienne te sa niezależne, to statystyka t= Z /(pierw.(χ2/r))
ma rozkład t-Studenta z r stopniami swobody.
Udowodnić można także twierdzenie, że statystyka t= (średniaX - ע)/(s) * pierw.n-1
średnia X - średnia z próby
s- odchylenie standardowe z próby
n- liczba próby
Z powyższego wzory korzysta się w estymacji przedziałowej średniej w populacji mi oraz testowaniu hipotez dla średniej oraz 2 średnich w populacji.
Rozkład F (Fishera- Snedecora)
Def. Niech zmienna losowa U1 ma rozkład chi-kwadrat z k1 stopniami swobody, a zmienna losowa U2 ma rozkład chi-kwadrat z k2 stopniami swobody. Jeżeli zmienne te są niezależne, to statystyka:
F=(U1/k1)/(U2/k2)
ma rozkład F z k1 i k2 stopniami swobody - F (k1,k2) Do weryfikacji hipotezy o równości wariancji w dwóch populacjach, a także w ekonometrii do weryfikacji…
…)
ma rozkład dwumianowy, jako suma niezależnych zmiennych losowych zero-jedynkowych.
E(od p z daszkiem) = E(1/n *Y)= 1/n*n*p=p
bo w rozkładzie dwumianowym wartość oczekiwana wynosi n*p.
Przeciętna wartość frakcji z próby jest równa prawdziwej frakcji w populacji. Var(od p z daszkiem) = Var(1/n*Y)= 1/n *n*p*(1-p)= (p*(1-p))/n
Rozproszenie rozkładu frakcji w próbie zmniejsza się wraz ze wzrostem liczebności…
... zobacz całą notatkę