1 Rok Bioinformatyki Matematyka II-lista 4 4.04.2012 1. Udowodnij twierdzenie o prawdopodobie´nstwie całkowitym (Twierdzenie 1, Wykład 5). 2. Udowodnij twierdzenie Bayesa (Twierdzenie 2, Wykład 5). 3. W pa´nstwie A 0 , 05% obywateli choruje na pewn ˛ a chorob˛e. Test, powszechnie stosowany do badania, czy dana osoba jest chora na t ˛ a chorob˛e, daje wynik dodatni u a = 96% chorych i u b = 8% zdrowych. Oblicz prawdopo- dobie´nstwo, ˙ze badany packent z wynikiem dodatnim jest chory. 4. Rzucamy dwukrotnie kostk ˛ a. Suma oczek X jest zmienn ˛ a losow ˛ a. Oblicz prawdopodobie´nstwa zdarze´n: (a) P ( X
(…)
…)
˙
gdzie λ > 0 jest danym parametrem. Mówimy, ze zmienna losowa X typu ciagłego z g˛ sto˛
e
´ ˛
scia okre´lona wzorem (1) ma rozkład wykładniczy z parametrem λ. Oblicz kwantyl rz˛ du α,
s ˛
e
α ∈ (0,1), zmiennej losowej X.
Uwaga Kwantyl rz˛ du α, α ∈ (0,1), zmiennej losowej X o rozkładzie wykładniczym z parae
metrem λ > 0 jest definiowany jako (jedyne) rozwiazanie cα równania
˛
P (X
t) = α.
(2)
W analogiczny sposób definiuje si˛ kwantyl rz˛ du α, α ∈ (0,1), dla dowolnej zmiennej loe
e
sowej typu ciagłego o g˛ sto´ci dodatniej na pewnym przedziale I i równej zero poza tym
˛
e s
˙
przedziałem; przedział I moze by´ odcinkiem, półprosta lub prosta.
c
˛
˛
˙
2. Czas zycia T pewnego organizmu ma rozkład wykładniczy z parametrem λ = 2. Znajd´
z
posta´ dystrybuanty zmiennej losowej T .
c
˙
3. Uzasadnij, ze dla dowolnego α…
… policyjnych ustalono, ze na pewnym ruchliwym skrzyzowaniu miesi˛ czna liczba kolizji
e
˙
ma rozkład Poissona z parametrem λ = 3. Oblicz prawdopodobie´ stwo zdarzenia, które polega na tym, ze w
n
˙
˙
najblizszym miesiacu na tym skrzyzowaniu:
˛
(a) b˛ dzie miała dokładnie jedna kolizja;
e
˙
(b) liczba kolizji bedzie wi˛ ksza niz 3.
e
1 Rok Bioinformatyki
Matematyka II -lista 3
9.03.2011
1. Dla x = (1, 2, 3, 4…
… cos x
cos y − sin y
cos(x + y) − sin(x + y)
=
.
sin y cos y
sin(x + y) cos(x + y)
Podaj interpretacj˛ geometryczna tej równo´ci.
e
˛
s
˙
4. Znajd´ macierze odwrotne dla nast˛ pujacych macierzy (tam, gdzie jest to mozliwe).
z
e ˛
(a)
0 1
;
1 0
1 0
;
0 2
1 0
0 2 ;
1 2
5 .
(b)
0 1 0
1 0 0 ;
0 0 1
0 1 0 1
1 0 0 2 .
0 0 1 0
5. Znajd´ rozwiazania nast˛ pujacych układów równa´ :
z
˛
e ˛
n
(a)
x1 + 3x2 = 6
3x1 − 3x2 = −2
(b)
3x1 + x2 = 6
3x1 − 3x2 = −2
˙
6. Uzasadnij, ze macierz odwrotna do macierzy diagonalnej
D = diag(d1 , d2 , d3 )
jest równa
D = diag 1/d1 , 1/d2 , 1/d3 .
˙
Zakładamy, ze d1 , d2 i d3 sa rózne od zera.
˛
7. Znajd´ równanie paraboli przechodzacej przez punkty P1 = (0, 1), P2 = (1, −1), P3 = (3, 2).
z
˛
Wrocław, 6 lutego 2012 r.
Zadania z matematyki…
…
0
1
p/q
1
1
1
0
Zadanie 6. Przedstaw formułę zdaniową równoważną formule
(p ∧ q) ∨ (¬p ∧ r) ∨ ¬r,
lecz będącą w znormalizowanej postaci koniunkcyjnej.
Zadanie 7. Wykaż, że następujące formuły zdaniowe są tautologiami:
a) (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r) ⇒ (p ⇒ r),
b) (p ⇒ q) ∧ p ⇒ q,
c) (p ⇒ q) ∧ ¬q ⇒ ¬p.
Wskazówka: użyj metody zerojedynkowej.
1
Zadanie 8. Wykaż, że następujące formuły zdaniowe…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)