To tylko jedna z 6 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Liczby zespolone i ich interpretacja geometryczna Liczbą zespoloną nazywamy parę uporządkowaną liczb rzeczywistych (a,b). Często taka parę zapisuje się w postaci sumy , gdzie . Tą postać liczby zespolonej nazywamy postacią kanoniczną. Liczbę (rzeczywistą) a nazywamy częścią rzeczywistą, zaś liczbę b częścią urojoną liczby zespolonej z . Część rzeczywista oznaczamy Re z , a część urojoną symbolem Im z , mamy więc: Re z = a Im z = b . Liczby zespolone postaci a + 0i zapisujemy jako a i utożsamiamy z liczbami rzeczywistymi. Liczba zespolona jest równa zero, wtedy i tylko wtedy, gdy Re z = 0 i Im z = 0 . Zauważmy również, że kolejność liter w zapisie nie gra roli: a + bi = a + ib = bi + a = ib + a . Liczby zespolone interpretujemy geometrycznie jako punkty płaszczyzny. Liczbie zespolonej a + bi odpowiada punkt o współrzędnych (a,b) płaszczyzny zaopatrzonej w prostokątny układ współrzędnych. Punktom osi OX odpowiadają liczby rzeczywiste. Płaszczyznę, na której umieściliśmy liczby zespolone, nazywamy płaszczyzną Gaussa. Liczbą przeciwną do nazywamy . Natomiast liczbę nazywamy liczbą sprzężoną do z lub sprzężeniem liczby z . Zauważmy, że podwójne sprzężenie liczby z jest równe dokładnie liczbie z . Natomiast modułem liczby zespolonej nazywamy liczbę Istniej pewien związek między modułem liczby z a jej sprzężeniem : Działania na liczbach zespolonych Niech teraz , . Liczby zespolone są równe, gdy mają jednakowe zarówno części rzeczywiste i części urojone: Dodajemy, odejmujemy i mnożymy liczby zespolone tak, jak wyrażenia algebraiczne pamiętając, że . Tak więc: Trochę trudniej jest z dzieleniem, a dokładniej do doprowadzenia ilorazu do postaci Re z + Im z i . Zastosujemy tu wzór: Obliczmy teraz iloraz oczywiście zakładając, że : Działania arytmetyczne na liczbach zespolonych są rozszerzeniem działań na liczbach rzeczywistych, tzn. w przypadku liczb rzeczywistych jest obojętne czy np. mnożymy je jako liczby rzeczywiste czy zespolone z częścią urojoną równą zero. (Powyższe wzory można przyjąć za definicję działań.) Wynika z nich, że działania dodawania i mnożenia liczb zespolonych są łączne i przemienne oraz mnożenie jest rozdzielne względem dodawania. Zachowane są również znane własności odejmowania i dzielenia. Powyższe stwierdzenia powodują, że dla liczb zespolonych prawdziwe są wzory skróconego mnożenia, wzór dwumianowy Newtona, twierdzenie Bezout itd.. Nie określamy natomiast nierówności liczb
(…)
… oraz podzielić okrąg na n równych części tak, aby
policzony pierwiastek był jednym z punktów podziału. W ten sposób otrzymujemy wszystkie pierwiastki liczby
.
Pierwiastki szóstego stopnia z 1 - x0 ... x5.
Rozwiązywanie równań w zbiorze liczb zespolonych
Zasadnicze twierdzenie algebry
W zbiorze liczb zespolonych każdy wielomian stopnia n posiada dokładnie n pierwiastków (licząc z krotnościami
pierwiastków…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)