Liczby zespolone i ich interpretacja geometryczna - działania

Nasza ocena:

3
Wyświetleń: 553
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Liczby zespolone i ich interpretacja geometryczna - działania - strona 1 Liczby zespolone i ich interpretacja geometryczna - działania - strona 2 Liczby zespolone i ich interpretacja geometryczna - działania - strona 3

Fragment notatki:

Liczby zespolone i ich interpretacja geometryczna Liczbą zespoloną nazywamy parę uporządkowaną liczb rzeczywistych (a,b). Często taka parę zapisuje się w postaci sumy , gdzie  . Tą postać liczby zespolonej nazywamy postacią kanoniczną. Liczbę (rzeczywistą)  a  nazywamy częścią rzeczywistą, zaś  liczbę  b  częścią urojoną liczby zespolonej  z . Część rzeczywista oznaczamy  Re z , a część urojoną symbolem  Im z , mamy  więc: Re z = a Im z = b . Liczby zespolone postaci  a + 0i  zapisujemy jako  a  i utożsamiamy z liczbami rzeczywistymi. Liczba zespolona jest równa  zero, wtedy i tylko wtedy, gdy  Re z = 0  i  Im z = 0 . Zauważmy również, że kolejność liter w zapisie  nie gra  roli: a + bi = a + ib = bi + a = ib + a . Liczby zespolone interpretujemy geometrycznie jako punkty płaszczyzny. Liczbie zespolonej  a + bi  odpowiada punkt o  współrzędnych  (a,b)  płaszczyzny zaopatrzonej w prostokątny układ współrzędnych. Punktom osi OX odpowiadają liczby  rzeczywiste. Płaszczyznę, na której umieściliśmy liczby zespolone, nazywamy płaszczyzną Gaussa. Liczbą przeciwną do  nazywamy  . Natomiast liczbę  nazywamy liczbą sprzężoną do  z  lub sprzężeniem liczby  z . Zauważmy, że podwójne sprzężenie liczby  z  jest równe  dokładnie liczbie  z .  Natomiast modułem liczby zespolonej  nazywamy liczbę Istniej pewien związek między modułem liczby  z  a jej sprzężeniem  : Działania na liczbach zespolonych Niech teraz  ,  . Liczby zespolone są równe, gdy mają jednakowe zarówno części rzeczywiste i  części urojone:  Dodajemy, odejmujemy i mnożymy liczby zespolone tak, jak wyrażenia algebraiczne pamiętając, że  . Tak więc: Trochę trudniej jest z dzieleniem, a dokładniej do doprowadzenia ilorazu do postaci  Re z + Im z i . Zastosujemy tu wzór: Obliczmy teraz iloraz  oczywiście zakładając, że  : Działania arytmetyczne na liczbach zespolonych są rozszerzeniem działań na liczbach rzeczywistych, tzn. w przypadku  liczb rzeczywistych jest obojętne czy np. mnożymy je jako liczby rzeczywiste czy zespolone z częścią urojoną równą zero.  (Powyższe wzory można przyjąć za definicję działań.) Wynika z nich, że działania dodawania i mnożenia liczb  zespolonych są łączne i przemienne oraz mnożenie jest rozdzielne względem dodawania. Zachowane są również znane  własności odejmowania i dzielenia. Powyższe stwierdzenia powodują, że dla liczb zespolonych prawdziwe są wzory  skróconego mnożenia, wzór dwumianowy Newtona, twierdzenie Bezout itd.. Nie określamy natomiast nierówności liczb 

(…)

… oraz podzielić okrąg na n równych części tak, aby
policzony pierwiastek był jednym z punktów podziału. W ten sposób otrzymujemy wszystkie pierwiastki liczby
.
Pierwiastki szóstego stopnia z 1 - x0 ... x5.
Rozwiązywanie równań w zbiorze liczb zespolonych
Zasadnicze twierdzenie algebry
W zbiorze liczb zespolonych każdy wielomian stopnia n posiada dokładnie n pierwiastków (licząc z krotnościami
pierwiastków…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz