Liczby zespolone i ich interpretacja geometryczna

Liczby zespolone i ich interpretacja geometryczna Liczbą zespoloną nazywamy parę uporządkowaną liczb rzeczywistych (a,b). Często taka parę zapisuje się w postaci sumy , gdzie  . Tą postać liczby zespolonej nazywamy postacią kanoniczną. Liczbę (rzeczywistą)  a  nazywamy częścią rzeczywistą, zaś  liczbę  b  częścią urojoną liczby zespolonej  z . Część rzeczywista oznaczamy  Re z , a część urojoną symbolem  Im z , mamy  więc: Re z = a Im z = b . Liczby zespolone postaci  a + 0i  zapisujemy jako  a  i utożsamiamy z liczbami rzeczywistymi. Liczba zespolona jest równa  zero, wtedy i tylko wtedy, gdy  Re z = 0  i  Im z = 0 . Zauważmy również, że kolejność liter w zapisie  nie gra  roli: a + bi = a + ib = bi + a = ib + a . Liczby zespolone interpretujemy geometrycznie jako punkty płaszczyzny. Liczbie zespolonej  a + bi  odpowiada punkt o  współrzędnych  (a,b)  płaszczyzny zaopatrzonej w prostokątny układ współrzędnych. Punktom osi OX odpowiadają liczby  rzeczywiste. Płaszczyznę, na której umieściliśmy liczby zespolone, nazywamy płaszczyzną Gaussa. Liczbą przeciwną do  nazywamy  . Natomiast liczbę  nazywamy liczbą sprzężoną do  z  lub sprzężeniem liczby  z . Zauważmy, że podwójne sprzężenie liczby  z  jest równe  dokładnie liczbie  z .  Natomiast modułem liczby zespolonej  nazywamy liczbę Istniej pewien związek między modułem liczby  z  a jej sprzężeniem  : Działania na liczbach zespolonych Niech teraz  ,  . Liczby zespolone są równe, gdy mają jednakowe zarówno części rzeczywiste i  części urojone:  Dodajemy, odejmujemy i mnożymy liczby zespolone tak, jak wyrażenia algebraiczne pamiętając, że  . Tak więc: Trochę trudniej jest z dzieleniem, a dokładniej do doprowadzenia ilorazu do postaci  Re z + Im z i . Zastosujemy tu wzór: Obliczmy teraz iloraz  oczywiście zakładając, że  : Działania arytmetyczne na liczbach zespolonych są rozszerzeniem działań na liczbach rzeczywistych, tzn. w przypadku  liczb rzeczywistych jest obojętne czy np. mnożymy je jako liczby rzeczywiste czy zespolone z częścią urojoną równą zero.  (Powyższe wzory można przyjąć za definicję działań.) Wynika z nich, że działania dodawania i mnożenia liczb  zespolonych są łączne i przemienne oraz mnożenie jest rozdzielne względem dodawania. Zachowane są również znane  własności odejmowania i dzielenia. Powyższe stwierdzenia powodują, że dla liczb zespolonych prawdziwe są wzory  skróconego mnożenia, wzór dwumianowy Newtona, twierdzenie Bezout itd.. Nie określamy natomiast nierówności liczb  zespolonych innych niż rzeczywiste. Więc mówiąc, że liczba jest dodatnia nie musimy dodawać, że jest ona rzeczywista.

(…)

… oraz podzielić okrąg na n równych części tak, aby
policzony pierwiastek był jednym z punktów podziału. W ten sposób otrzymujemy wszystkie pierwiastki liczby
.
Pierwiastki szóstego stopnia z 1 - x0 ... x5.
Rozwiązywanie równań w zbiorze liczb zespolonych
Zasadnicze twierdzenie algebry
W zbiorze liczb zespolonych każdy wielomian stopnia n posiada dokładnie n pierwiastków (licząc z krotnościami
pierwiastków…
... zobacz całą notatkę