To tylko jedna z 4 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Liczby zespolone 1. Ciekawostki historyczne Początki liczb zespolonych sięgają już XVI wieku. W czasach dzisiejszych nie można przecenić ich znaczenia i wkładu w rozwój nauki. Co ciekawsze jako pierwszy zaczął je używać Rafael Bombelli, który nie był matematykiem. Był on inżynierem kierującym pracami przy osuszaniu bagien i terenów błotnych w Toskanii. Co więcej, wielu sławnych matematyków nie chciało pogodzić się z ich istnieniem i zaprzeczało ich istnieniu. Obecnie liczby zespolone są codziennym narzędziem nie tylko matematyka czy fizyka, ale i inżyniera, któremu oddają ogromne korzyści w elektronice, aerodynamice itd..
Pojawienie się liczb zespolonych wiąże się ściśle z problemem rozwiązania równania kwadratowego o wyróżniku (delcie) ujemnym. W szczególności problem sprowadza się do obliczenia pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej. Jeżeli ograniczymy się do liczb rzeczywistych, to jak wiadomo obliczanie pierwiastka z liczby ujemnej jest niewykonalne. Nie kłopocząc się tym zbytnio Bombelli założył jego istnienie i nazywał go liczbą urojoną (wyimaginowaną), a poprzednio znane liczby liczbami rzeczywistymi. Zwolennicy istnienia tych liczb wykonywali na nich działania tak, jak na liczbach rzeczywistych dodając, odejmując, mnożąc i dzieląc. Oznaczali pierwiastek z liczby -1 literą i przyjmując, że i 2 =-1. Swobodnie dodając i mnożąc liczby rzeczywiste i urojone tworzyli nowe liczby postaci a+bi , które dziś nazywamy liczbami zespolonymi. Początek XIX wieku zdarł wszelką mistykę z tych liczb, gdyż przyniósł ich ścisłe określenie. Pierwsze z nich - Gaussa - wykazało, że liczby zespolone są to właściwie punkty płaszczyzny euklidesowej, w której wprowadzono pewne działania zwane dodawaniem i mnożeniem punktów czyli liczb zespolonych. Drugie ujęcie - Hamiltona - wprowadza liczby zespolone jako pary liczb rzeczywistych, ze specyficznym (specjalnym) sposobem ich dodawania i mnożenia.
2. Definicja liczby zespolonej, interpretacja geometryczna. Liczbą zespoloną nazywamy parę uporządkowaną liczb rzeczywistych (a,b). Często taką parę zapisuje się w postaci sumy
z = a + bi , gdzie i 2 =-1.
Tą postać liczby zespolonej nazywamy postacią kanoniczną . Liczbę a nazywamy częścią rzeczywistą , zaś liczbę b częścią urojoną liczby zespolonej z . Część rzeczywista oznaczamy Re z , a część urojoną symbolem Im z , mamy więc:
Re z = a Im z = b .
Liczba zespolona jest równa zero wtedy i tylko wtedy, gdy Re z = 0 i Im z = 0 . Dwie liczby zespolone są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są równe odpowiednio ich części rzeczywiste i urojone.
Liczbę zespoloną postaci
(…)
… rzeczywistej i urojonej możemy ją określić inaczej - współrzędnymi biegunowymi - podając odległość r punktu M(a, b) od początku układu współrzędnych oraz kąt φ jaki tworzy wektor z dodatnim kierunkiem osi Ox.
Wówczas zachodzą związki
stąd
oraz dla Liczbę r, która jest długością wektora jest modułem liczby zespolonej z = a +bi , co zapisujemy
Widać stąd, że liczba zespolona jest równa zeru wtedy i tylko wtedy, gdy moduł jej jest równy zeru.
Kąt φ nazywamy argumentem liczby zespolonej z, co zapisujemy
φ = arg z
Dla liczby zespolonej o module równym zero, argument nie jest określony.
Argument określamy z dokładnością do wielokrotności składnika 2π, gdyż obrót o kąt 2π stanowi obrót o kąt pełny. Watrość argumentu φ spełniającą warunek
nazywamy wartością główną argumentu, lub po prostu argumentem głównym.
Na podstawie związków określających moduł i argument liczby zespolonej (wymienionych wyżej) liczbę zespoloną można wyrazić poprzez jej moduł i argument w postaci
Postać tę nazywamy postacią (przedstawieniem) trygonometryczną liczby zespolonej.
Przykład.1.
Przedstawmy w postaci trygonometrycznej liczbę z = -2+2i. W tym celu obliczmy moduł i argument danej liczby
Zatem liczba z = -2+2i zapisana w postaci…
… zespolonych prawdziwe są wzory skróconego mnożenia, wzór dwumianowy Newtona, twierdzenie Bezout itd.. Nie określamy natomiast nierówności liczb zespolonych innych niż rzeczywiste. Przykład.1. Znajdź część rzeczywistą i urojoną liczby (5+2i)+(-3-i).
Aby znaleźć część rzeczywistą i urojoną należy dodać podane liczby zespolone. Otrzymujemy wówczas
(5+2i) + (-3-i) = (5-3) + (2-1) i = 2+i
Zatem część rzeczywista…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)