Klasyczny Rachunek Zdań [...] jest możliwe zarówno złe, jak i dobre rozumowania, i fakt ten jest podstawą praktycznej strony logiki. Charles S. Peirce
Języki sformalizowane wraz z określoną w nich relacją wynikania (zwaną technicznie relacją konsekwencji ) nazywamy rachunkami logicznymi. Najprostszymi rozważanymi w logice rachunkami są tzw. rachunki zdaniowe. Dostarczają one zasad wnioskowań loigcznie poprawnych odwołujących się wyłącznie do struktury zdań złożonych, nie wnikając w budowę zdań prostych - składników zdań złożonych.
Język J nazywamy językiem zdaniowym (lub językiem rzędu zerowego ), gdy ma on następujące własności:
słownik jego zawiera: (a) nieskończenie wiele zmiennych zdaniowych (są to symbole literowe reprezentujące zdania); (b) libczę spójników ; (c) nawiasy (pełnią one role znaków interpunkcyjnych zapewniając formułom jednoznaczność);
formułami są te ciągi znaków ze słownika języka J , które są schematami zdań (jakiegoś języka, np. polskiego)
Schematem będziemy nazywać wyrażenie zawierające zmienne. Przez schemat zdaniowy rozumiemy taki schemat, z którego przy wszystkich prawidłowych podstawieniach za zmienne zdaniowe powstają zdania. A zatem, schemat zdaniowy to coś zbliżonego do formularza zawierającego rubryki do wypełnienia. Taki formularz ma postać:
(*) Jeżeli p lub q to r i s Litery p , q , r , s to zmienne zdaniowe. Podstawienie jest prawidłowe, gdy za zmienne zdaniowe zostały podstawione tylko i wyłącznie wyrażania zdaniowe, przy czym za takie same zmienne podstawiono to samo wyrażenie zdaniowe i podstawienia dokonano na wszystkich miejscach wystąpienia danej zmiennej.
Ze schematu (*) otrzymujemy np. zdanie:
Jeżeli Iksiński pozna Bimbalskiego lub zaprzyjaźni się z Trąbalskim, to wygra przetarg i dostanie pożyczkę z banku. Przykładem języka zdaniowego jest język Klasycznego Rachunku Zdań (KRZ). Słownik tego języka oprócz zmiennych zdaniowych i nawiasów zawiera wyłącznie spójniki ekstensjonalne: ~ ← negacja Konstrukcja negacji polega na poprzedzeniu formuły A symbolem ~: ~ (A) ; symbol ów czytamy jako: nieprawda, że ( nie jest tak, że lub nie );
Zakładamy, że spójnik negacji ma następujące znaczenie: jeśli A jest prawdziwe, to ~( A ) jest fałszywe i odwrotnie. A | ~(A) 1 | 0 0 | 1 /\ ← koniunkcja Konstrukcja koniunkcji polega na połączeniu dwóch formuł A i B - zwanych czynnikami - symbolem /\: ( A ) /\ ( B ); symbol ów czytamy jako: i ( oraz, a, ale
(…)
… twierdzenia i uzasadnienia używa się często pojęc warunku dostatecznego (wystarczającego) i warunku koniecznego.
Def. Niech prawdziwe będzie zdanie warunkowe:
Jeżeli p, to q.
Wówczas to, o czym mówi zdanie p, jest warunkiem wystarczającym dla tego, o czym mówi zdanie q, a to, o czym mówi zdanie q jest warunkiem koniecznym dla tego, o czym mówi zdanie p. Mówi się wtedy skrótowo, że p jest warunkiem dostatecznym dla q, q jest warunkiem koniecznym dla p.
Warunek konieczny (łac. conditio sina qua non - warunek bez którego nie) znaczy: gdyby q nie było prawdą, to i p nie byłoby prawdą.
Przykład. Ponieważ prawdziwie jest zdanie warunkowe. Jeżeli Zenek jest adwokatem, to jest prawnikiem, więc bycie adwokatem jest warunkiem wystarczającym bycia prawnikiem, a bycie prawnikiem jesty warunkiem koniecznym bycia adwokatem.
Jeśli prawdziwa jest równoważność:
p wtw q,
to q jest zarazem warunkiem wystarczającym i koniecznym dla p.
Przykład. Liczba n jest podzielna przez 9 wtw suma cyfr liczby n jest podzielna przez 9.
warunek zarazem wystarczający i konieczny.
Uzasadniając twierdzenie postaci równoważności „A wtw B” pisze się np.:
Warunek dostateczny: pokażemy, że A pociąga (implikuje) B.
Warunek konieczny: pokażemy…
… jest prawdziwy.
A | B | (A) \/ (B)
1 | 1 | 1
1 | 0 | 1
0 | 1 | 1
0 | 0 | 0
Jeżeli zdanie o postaci alternatywy (A) \/ (B) jest prawdziwe i jeden jej składnik jest fałszywy, to drugi musi być fałszywy.
Dygresja. W mowie potocznej spójnika alternatywy używa się też w sensie wykluczającym - takim, że alternatywa zdań jest prawdziwa, gdy składniki mają różne wartości logiczne. Np. jeśli mówię Ożenię się z Anną…
…, to Z jest nim również.
Czy można określić, kim są X, Y i Z? Odp.: Wszyscy są rycerzami. X jest rycerzem lub łotrem i wygłasza następujące dwa zdania: (1) Kocham Ewę (2) Jeśli kocham Ewę, to kocham Kasię. Czy X jest rycerzem, czy łotrem? Odp.:
↔ równoważność (potrójny znak równości)
Konstrukcja równoważności polega na połączeniu dwóch formuł A, B - zwanych członami - symbolem ↔ : (A) ↔ (B); symbol ów czytamy…
… | 1 | 1
0 | 0 | 1
Jeżeli implikacja jest prawdziwa i następnik jest fałszywy, to poprzednik też musi być fałszywy.
Dygresja. Pewne zastrzeżenia może budzić przypadek, gdy zarówno poprzednik, jak i następnik są fałszywe. Implikacja jest wówczas prawdziwa. Rozważmy zdanie warunkowe:
Jeżeli Konfucjusz urodził się w Kaliforni, to jestem synem bezdzietnej matki.
Ponieważ następnik jest jawnie fałszywy…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)