Kinematyka punktu - Tor, prędkość i przyśpieszenie punktu

Nasza ocena:

5
Pobrań: 14
Wyświetleń: 1015
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Kinematyka punktu - Tor, prędkość i przyśpieszenie punktu   - strona 1 Kinematyka punktu - Tor, prędkość i przyśpieszenie punktu   - strona 2 Kinematyka punktu - Tor, prędkość i przyśpieszenie punktu   - strona 3

Fragment notatki:

5.2.1. Tor, prędkość i przyśpieszenie punktu      Rozpatrzmy ruch punktu materialnego względem przyjętego układu odniesienia  uważanego za nieruchomy. Aby poznać ruch tego punktu, w każdej chwili musimy  mieć możliwość wyznaczenia miejsca, w którym się ten punkt znajduje. Do okre- ślenia położenia dowolnego punktu M (rys. 5.1) w każdej chwili względem nieru- chomego punktu O wystarczy podanie wektora  r  o początku w punkcie O i końcu  w rozważanym punkcie M.    z L y x  O r M hodograf wektora wodzącego wektor wodzący     Rys. 5.1. Opis położenia punktu za pomocą wektora wodzącego    Wektorową funkcję czasu    ( ) r r = t                        (5.1)    nazywamy   wektorem wodzącym . Wektor ten możemy zapisać analitycznie  w prostokątnym układzie współrzędnych x, y, z za pomocą jego współrzędnych  w postaci funkcji wektorowej:    ( ) ( ) ( ) ( ) r r i j k = = + + t x t y t z t                (5.2)    lub równoważnych trzech równań skalarnych    ( ) ( ) ( ) x x t y y t z z t = = = , , .               (5.3)      Równanie (5.1) lub (5.2) nazywamy wektorowym  równaniem ruchu , a trzy  równania (5.3), równoważne wektorowemu, skalarnymi lub algebraicznymi  rów- naniami ruchu.    91     Gdy punkt M będzie się poruszał, wektor  r  będzie zmieniał z upływem czasu  swoją wartość i kierunek, a koniec tego wektora zakreśli krzywą L, którą będziemy  nazywać  torem punktu  lub  hodografem  wektora wodzącego  r . Jak już powiedziano  w p. 2.3.7, hodograf rozpatrywanej funkcji wektorowej to linia zakreślona przez  końce wektorów, których początki znajdują się w jednym punkcie.    W czasie ruchu punktu M wektor wodzący  r  tego punktu będzie zmieniał swoją  wartość i kierunek. Załóżmy, że w chwili czasu t1 położenie punktu M1 wyznacza  wektor wodzący  r 1 =  r (t1), a w chwili t2 = t1 + ∆t punkt zajmuje położenie M2 wy- znaczone przez wektor wodzący  r 2  =  r (t2), jak na rys. 5.2. Widzimy, że po upływie  czasu  ∆t = t2 – t1 wektor wodzący uzyskał przyrost ∆ r  =  r 2 –  r 1. Iloraz ∆ r /∆t jest  wektorem współliniowym z wektorem  ∆ r , czyli jest skierowany wzdłuż cięciwy  M1M2. Jeżeli przyrost czasu ∆t będzie dążył do zera, to w granicy otrzymamy po- chodną wektora  r  względem czasu:    lim t 0 ∆ ∆ ∆ → = = r r v t d dt ,    nazywaną prędkością punktu. Oznacza to, że   prędkością punktu    nazywamy  pochodną względem czasu wektora wodzącego tego punktu:     v r = d dt .                      (5.4) 

(…)

… granicę ilorazu przyrostu wektora wodzącego ∆r i przyrostu
drogi ∆l
95
∆r dr
=
,
∆l
dl
to otrzymamy pochodną wektora wodzącego r względem drogi l. Moduł tej pochodnej jest równy jedności, ponieważ gdy ∆l będzie dążyć do zera, to długość
cięciwy MM′ = ∆r będzie dążyć do długości łuku ∆l:
lim
∆ →0
lim
∆l→0
∆r
dr
=
= 1.
∆l
dl
Zatem pochodna wyrażona wzorem:
es =
dr
dl
jest równa wersorowi stycznej es…
… do M′ doznał przyrostu ∆es. Jeżeli zbudujemy wektor będący ilorazem przyrostu ∆es i długości łuku ∆l i wyznaczymy
granicę tej wielkości przy ∆l dążącym do zera, to otrzymamy drugą pochodną wektora wodzącego r względem drogi l:
∆ es d es d 2 r
=
= 2 .
∆l→0 ∆l
dl
dl
lim
(a)
96
Kierunek tego wektora będzie normalny do krzywej w punkcie M, ponieważ jeżeli
punkt M′ będzie się zbliżał do punktu M, to kąt między przyrostem ∆es i wersorem
es będzie dążył do kąta prostego. Można to też wykazać analitycznie. Wiadomo, że
iloczyn wersora pomnożonego skalarnie przez siebie będzie równy jedności:
e s ⋅ e s = 1.
Po zróżniczkowaniu tej zależności względem czasu mamy:
es ⋅
d e dl
d es
= 0 lub e s ⋅ s
= 0,
dl dt
dt
a po podzieleniu przez dl/dt
es ⋅
d es
d2 r
= es ⋅ 2 = 0 .
dl
dl
Z powyższego wynika, że druga pochodna wektora wodzącego względem drogi
jest wektorem prostopadłym do osi stycznej s.
Wyznaczymy obecnie moduł drugiej pochodnej wektora wodzącego r względem drogi l. Z rysunku 5.5 można zauważyć, że dla małych przyrostów ∆r trójkąt
es ∆es e ′ i trójkąt N M M′ są podobne. Możemy zatem napisać:
s
∆ es
e
= s .
∆r
MN
Wiadomo także, że gdy ∆l będzie dążyć do zera, to długość przyrostu ∆r będzie
dążyć do długości łuku ∆l…
…, czyli ⏐∆r⏐ = ∆l. Powyższą równość zapiszemy zatem
w postaci:
∆ es
e
= s ,
∆l
MN
a po obliczeniu granicy tej równości mamy:
∆ es
e
d es
d2 r
1
1
=
=
= s =
= ,
2
∆l→0 ∆l
dl
MN MN ρ
dl
lim
ponieważ z geometrii analitycznej wiadomo, że granica:
lim M ′N = ρ
M ′→ M
jest promieniem krzywizny, czyli promieniem koła ściśle stycznego w rozpatrywanym punkcie.
97
Ostatecznie moduł drugiej pochodnej wektora wodzącego…
prędkością kątową ω = π s−1 .
Wyznaczyć prędkość i przyśpieszenie trzpienia dla czasu t1 = 0,5 s, jeżeli oś
trzpienia pokrywa się z osią x tak jak na rysunku.
Rozwiązanie. Dla obliczenia prędkości i przyśpieszenia trzpienia musimy ułożyć jego równanie ruchu, np. równanie punktu A. Na podstawie rys. 5.7b możemy
napisać:
x A = OA = OD + DA = e cosϕ + r 2 − CD 2 =
= e cosϕ + r 2 − ( e sinϕ ) = e cosϕ + r 2 − e…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz