Hurwitza kryterium stabilności - omówienie

Hurwitza kryterium stabilności kryterium al­gebraiczne oceny stabilności układu polegające na badaniu współczynników równania charak­terystycznego n-tego stopnia układu o postaci
ansn+an-1sn-1+…+ a1s1+a0=0
gdzie współczynniki. Ai (i = 1…n) — są rzeczywiste. K.H. sformułowane jest następująco: warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby odpo­wiedni stan równowagi układu był stanem sta­bilnym (tzn. aby wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego miały ujemne części rzeczy­wiste) jest, aby wyznaczniki złożone ze współczynników. równania charakterystycznego n-tego stopnia aΔ1, Δ2, ..., Δn były dodatnie oraz współczynniki a0, a1,..., an były także dodatnie. Jeśli więc wyznacznik
będą tego samego znaku co współcz. an to w przypadku gdy współcz. an0, wyznacznik Hurwitza i jego minory główne winny być do­datnie. Zatem z warunków tych wynika waru­nek konieczny stabilności: wszystkie współcz. równania charakterystycznego powinny być do­datnie. Kryterium Hurwitza stos. się zwykle w przypadku równań różniczkowych niższego rzę­du: przy wzroście bowiem stopnia n równania charakterystycznego (np. dla n 5) obliczanie wyznaczników staje się bardzo złożone i praco­chłonne. Przy uzmiennianiu współcz. równania charakterystycznego a0,..., an układ może osiąg­nąć granice stabilności; wtedy jako pierwszy ze­ruje się wyznacznik Hurwitza stopnia n. Przy dalszej zmianie tych współcz., układ może stać się niestabilny; wtedy liczba zmian znaku w ciągu wyznaczników Hurwitza an-1, Δ2,..,Δn jest dokładnie równa liczbie pierwiastków z do­datnią częścią rzeczywistą.
to po rozwinięciu w szereg Taylora wokół punktu równowagi (jc°, y°) (stan ustalony, gdzie j° = 0) otrzymamy
gdzie wskaźnik górny „zero" oznacza wartości pochodnych w punkcie je = x°t y = y° i y = 0. Równanie linearyzowane będzie miało po­stać
Δy+TΔy`=kΔx
Gdzie
Opisany sposób linearyzacji odgrywa ważną ro­lę przy badaniu stabilności rozwiązań dla ma­łych zmian parametrów wokół punktu równo­wagi (→ Lapunowa metody).
W analizie procesów periodycznych (drgań własnych) \stos. się linearyzację harmoniczną. W analizie procesów losowych stos. się lineary­zację statystyczną. ... zobacz całą notatkę