To tylko jedna z 13 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Hipoteza kontinuum
CH: ℵ1 = c
Twierdzenie (Gödel) (1940 - ta sama praca): ZFC + CH jest niesprzeczne
Twierdzenie (Cohen, 1963): ZFC + ~ CH jest niesprzeczne
Zatem CH jest zdaniem niezależnym od teorii mnogości.
c może być dowolnie duże w hierarchii.
Każdy nieskończony zbiór liczb rzeczywistych jest równoliczny albo ze zbiorem liczb naturalnych, albo ze zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych (jest przeliczalny lub nie).
Uogólniona hipoteza kontinuum
GCH: ∀α card(P(ℵα)) = ℵα+1 Uogólnienie
Gödel - GCH też jest niesprzeczna z ZFC.
(Re)konstrukcja liczb 1. całkowitych, 2. wymiernych i 3. rzeczywistych z liczb naturalnych.
Ad. 1. dorzucenie liczb, które gwarantują istnienie rozwiązań niektórych równań typu a + x = b (tych właśnie rozwiązań).
Ad. 2. dorzucenie liczb, które gwarantują istnienie rozwiązań niektórych równań typu ax = b (tych właśnie rozwiązań).
Ad. 3.
- przez przekroje Dedekinda
- przez ciągi Cauchy'ego
Liczby całkowite - dodanie minusa do liczb naturalnych.
∀a, b [a ≠ b ⇒ (a b ∨ a b ⇔ b
(…)
…...bnc0c1...cm.
Niech α∈A*. Wówczas αε = εα = α.
Dla dowolnych α, β, γ∈A* (αβ)γ = α(βγ) (łączność)
Struktura spełniającą takie warunki to półgrupa z jedynką (elementem neutralnym), czyli monolit.
(A* [uniwersum, elementy], ^, ε) - półgrupa słów nad A.
Nie jest przemienna.
Słowom można jednoznacznie przyporządkować liczby naturalne. Np. 10 liter - 1 puste słowo, 10 jednoliterowych, 100 dwuliterowych itd…
…, czyli tą jednostkę. Wtedy określają, co znaczy mniejszy/większy, na lewo/na prawo.
Każdemu a odpowiada liczba rzeczywista mówiąca, ile razy a jest dłuższy od jednostki, ile jednostek jest odległy od 0. Odcinek złożony n razy [powtórzony] od 0 do a.
Każdej liczbie wymiernej odpowiada punkt na prostej. Chcemy rozszerzyć tak, by każdemu punktowi odpowiadała pewna liczba - odpowiedniość (między) liczb(ami…
…) = {∅, {∅}, {{∅}}, {∅, {∅}}}
ƒ3({{∅}}) = S(0)·20 + S(1)·21 = 2
ƒ3({∅, {∅}}) = S'(0)·20 + S'(1)·21 = 3
3. Wprowadzenie do semantyki i teorii modeli
Niech A = {a1, ... , an} - ustalony skończony zbiór o mocy ≥ 2, który nazywamy alfabetem. Słowami nad A nazywamy dowolne skończone ciągi elementów z A, czyli funkcje postaci α: n → A, dla dowolnego n∈ω.
A* - zbiór wszystkich słów nad A (zbiór wszystkich skończonych ciągów elementów…
… z tego zbioru do niego samego (ƒ: A → A), czyli permutacje. Zbiór wszystkich tych permutacji. Działanie w grupie - składanie funkcji, funkcja odwrotna, funkcja identycznościowa - element neutralny. Grupa symetryczna. Podgrupy.
Pierwsze twierdzenie o niewykonalności - nie da się podać ogólnego wzoru.
Wielomainy nad Q z jedną niewiadomą
p(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0, gdzie a0, ... , an∈Q.
Jeśli an ≠ 0…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)