Granica funkcji i ciagu w przestrzeniach topologicznych

Nasza ocena:

3
Pobrań: 77
Wyświetleń: 763
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Granica funkcji i ciagu w przestrzeniach topologicznych  - strona 1 Granica funkcji i ciagu w przestrzeniach topologicznych  - strona 2 Granica funkcji i ciagu w przestrzeniach topologicznych  - strona 3

Fragment notatki:


Pojęcia topologiczne Granica funkcji i ciagu w przestrzeniach topologicznych i metrycznych Niech    X ,Y  - przestrzenie topologiczne, f  :  X  Y x 0∈ ' D f  (   x 0 - punkt skupienia dziedziny funkcji   f   ) Mówimy, że funkcja   f   ma w punkie    x 0  granicę    g ∈ Y  , jeśli           ∀  U  ∈ Top   g  ∃ V ∗∈ Top ∗  x 0 :  f  [ V ∗]⊂ U   i piszemy lim x   x 0 f   x = g  . Niech   a n  n ∈ N  będzie ciągiem w przestrzeni topologicznej  Y  ,   an  n ∈ N  ⊂ Y  . Ciąg jest funkcją  a  : ℕ∋ n    a   n = a n ∈ Y o dziedzinie   Da =ℕ .  Jedynym punktem skupienia zbioru  ℕ w   ℝ jest  ∞ ,  ' D a ={∞ } w  ℝ . Zatem  lim n ∞ a n =  g  ⇔ ∀  U  ∈ Top    g   ∃  V ∗∈ Top ∗∞ :  a [ V ∗]⊂ U Stąd lim n ∞ a n =  g  ⇔ ∀  U  ∈ Top    g   ∃  n 0∈ℕ ∀  n  n 0 :  an ∈ U Jeśli   Y , d   - przestrzeń metryczna, to powyższa definicja przyjmuje postać lim n ∞ a n =  g  ⇔ ∀ 0  ∃  n 0 ∈ℕ ∀  n  n 0 :  a n ∈  K    g ,   Stąd  lim n ∞ a n =  g  ⇔ ∀ 0  ∃  n 0∈ℕ ∀  n  n 0 :  d    an , g   Uwaga Jeżeli   Y = K  , d  = d E , to otrzymujemy znaną  definicję Cauchy'ego granicy ciągu lim n ∞ a n =  g  ⇔ ∀ 0  ∃  n 0 ∈ℕ ∀  n  n 0 : ∣ an − g ∣ Uwaga Pojęcie granicy ciągów liczbowych można przenieść na pojęcie granicy ciągu w dowolnej przestrzeni metrycznej, mianowicie lim n ∞ a n =  g  ⇔ lim n ∞ d  a n , g  =0 Uwaga Ponieważ w przestrzeni  K n  metryki standardowe są równoważne (wyznaczają te same topologie), zatem mówiąc o zbieżności ciągu do punktu nie  musimy precyzować o którą metrykę chodzi, gdyż zbieżność w jednej metryce implikuje zbieżność w pozostałych metrykach. Punkty skupienia ciągu Definicja Ciąg   bk  k ∈ℕ  nazywamy podciągiem ciągu  an  n ∈ℕ , jeżeli istnieje taka silnie rosnąca funkcja   g  : ℕℕ , że   bk = ag  k  dla    k  ∈ℕ i oznaczamy    bk = an  k = an k . Przykład  a n  n ∈ℕ : a n = 1  n  b k   k ∈ℕ : b k  = 1  k 2                                    bk  k ∈ℕ jest podciągiem   an  n ∈ℕ , bo funkcja wybierająca   g   k  = k 2 jest silnie rosnąca. Definicja Niech    Y  – przestrzeń topologiczna lub metryczna,

(…)

… - jest ciągiem Cauchy'ego
n∞
Uwaga
Warunek Cauchy'ego nie jest warunkiem wystarczającym zbieżności ciągu w przestrzeni
metrycznej.
Przykład
Niech Y = 0 , 1 ] .
Wtedy Y , d E  - przestrzeń metryczna.
1
Niech a n n∈ℕ , a n=
.
n
W przestrzeni metrycznej ℝ , d E  ciąg a n n∈ℕ jest zbieżny, bo
1
d E a n , 0 =∣a n∣=  0 , gdy n  ∞ ;
n
⇒ a n n∈ℕ - ciąg Cauchy'ego w ℝ , d E  , ale też w Y , d E…
… .
Zatem X nie jest spójny – a to jest sprzeczne z hipotezą.
Czyli hipoteza jest fałszywa.
Niech X – przestrzeń topologiczna
f : X ℝ
f - ma własność Darboux na X , gdy
Wniosek
X - zbiór spójny
f ∈C  X 
}
f [ X ] jest przedziałem.
⇒ f [ X ] - jest przedziałem
( funkcja ciągła na przestrzeni spójnej ma własność Darboux ).

…, to znaczy zupełną w metryce danej normą wyznaczoną
przez iloczyn skalarny, nazywamy przestrzenią Hilberta.
Wniosek
1) Przestrzeń
2) Przestrzeń
K n z normą standardową jest przestrzenią Banacha.
K n ze standardowym iloczynem skalarnym jest przestrzenią Hilberta.
Wniosek
Każda przestrzeń Hilberta jest przestrzenią Banacha ( z normą daną iloczynem
skalarnym).
Granica funkcji (c.d.)
Def. Cauchy'ego
Niech  X…
... zobacz całą notatkę



Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz