To tylko jedna z 7 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Pojęcia topologiczne Granica funkcji i ciagu w przestrzeniach topologicznych i metrycznych Niech X ,Y - przestrzenie topologiczne, f : X Y x 0∈ ' D f ( x 0 - punkt skupienia dziedziny funkcji f ) Mówimy, że funkcja f ma w punkie x 0 granicę g ∈ Y , jeśli ∀ U ∈ Top g ∃ V ∗∈ Top ∗ x 0 : f [ V ∗]⊂ U i piszemy lim x x 0 f x = g . Niech a n n ∈ N będzie ciągiem w przestrzeni topologicznej Y , an n ∈ N ⊂ Y . Ciąg jest funkcją a : ℕ∋ n a n = a n ∈ Y o dziedzinie Da =ℕ . Jedynym punktem skupienia zbioru ℕ w ℝ jest ∞ , ' D a ={∞ } w ℝ . Zatem lim n ∞ a n = g ⇔ ∀ U ∈ Top g ∃ V ∗∈ Top ∗∞ : a [ V ∗]⊂ U Stąd lim n ∞ a n = g ⇔ ∀ U ∈ Top g ∃ n 0∈ℕ ∀ n n 0 : an ∈ U Jeśli Y , d - przestrzeń metryczna, to powyższa definicja przyjmuje postać lim n ∞ a n = g ⇔ ∀ 0 ∃ n 0 ∈ℕ ∀ n n 0 : a n ∈ K g , Stąd lim n ∞ a n = g ⇔ ∀ 0 ∃ n 0∈ℕ ∀ n n 0 : d an , g Uwaga Jeżeli Y = K , d = d E , to otrzymujemy znaną definicję Cauchy'ego granicy ciągu lim n ∞ a n = g ⇔ ∀ 0 ∃ n 0 ∈ℕ ∀ n n 0 : ∣ an − g ∣ Uwaga Pojęcie granicy ciągów liczbowych można przenieść na pojęcie granicy ciągu w dowolnej przestrzeni metrycznej, mianowicie lim n ∞ a n = g ⇔ lim n ∞ d a n , g =0 Uwaga Ponieważ w przestrzeni K n metryki standardowe są równoważne (wyznaczają te same topologie), zatem mówiąc o zbieżności ciągu do punktu nie musimy precyzować o którą metrykę chodzi, gdyż zbieżność w jednej metryce implikuje zbieżność w pozostałych metrykach. Punkty skupienia ciągu Definicja Ciąg bk k ∈ℕ nazywamy podciągiem ciągu an n ∈ℕ , jeżeli istnieje taka silnie rosnąca funkcja g : ℕℕ , że bk = ag k dla k ∈ℕ i oznaczamy bk = an k = an k . Przykład a n n ∈ℕ : a n = 1 n b k k ∈ℕ : b k = 1 k 2 bk k ∈ℕ jest podciągiem an n ∈ℕ , bo funkcja wybierająca g k = k 2 jest silnie rosnąca. Definicja Niech Y – przestrzeń topologiczna lub metryczna,
(…)
… - jest ciągiem Cauchy'ego
n∞
Uwaga
Warunek Cauchy'ego nie jest warunkiem wystarczającym zbieżności ciągu w przestrzeni
metrycznej.
Przykład
Niech Y = 0 , 1 ] .
Wtedy Y , d E - przestrzeń metryczna.
1
Niech a n n∈ℕ , a n=
.
n
W przestrzeni metrycznej ℝ , d E ciąg a n n∈ℕ jest zbieżny, bo
1
d E a n , 0 =∣a n∣= 0 , gdy n ∞ ;
n
⇒ a n n∈ℕ - ciąg Cauchy'ego w ℝ , d E , ale też w Y , d E…
… .
Zatem X nie jest spójny – a to jest sprzeczne z hipotezą.
Czyli hipoteza jest fałszywa.
Niech X – przestrzeń topologiczna
f : X ℝ
f - ma własność Darboux na X , gdy
Wniosek
X - zbiór spójny
f ∈C X
}
f [ X ] jest przedziałem.
⇒ f [ X ] - jest przedziałem
( funkcja ciągła na przestrzeni spójnej ma własność Darboux ).
…
…, to znaczy zupełną w metryce danej normą wyznaczoną
przez iloczyn skalarny, nazywamy przestrzenią Hilberta.
Wniosek
1) Przestrzeń
2) Przestrzeń
K n z normą standardową jest przestrzenią Banacha.
K n ze standardowym iloczynem skalarnym jest przestrzenią Hilberta.
Wniosek
Każda przestrzeń Hilberta jest przestrzenią Banacha ( z normą daną iloczynem
skalarnym).
Granica funkcji (c.d.)
Def. Cauchy'ego
Niech X…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)