Geometria przestrzeni Euklidesowych - wykład

Zadania z algebry dwuliniowej (zestaw 2)
G EOMETRIA PRZESTRZENI
EUKLIDESOWYCH
Wykorzystujac iloczyn skalarny udowodni´ nast˛ pujace twierdzenia dotyczace przestrzeni euklidesowej:
˛
c
e ˛
˛
1.
2.
3.
4.
Wysoko´ci dowolnego trójkata przecinaja si˛ w jednym punkcie.
s
˛
˛ e
Symetralne boków dowolnego trójkata przecinaja si˛ w jednym punkcie.
˛
˛ e
W dowolnym trójkacie punkty przeci˛ cia si˛ srodkowych, wysoko´ci i symetralnych boków le˙ a na jednej prostej.
˛
e
e´
s
z˛
Twierdzenie cosinusów. Je˙ eli A, B,C sa trzema ró˙ nymi punktami przestrzeni euklidesowej, to
z
˛
z
−→
AB
2
−→
= BC
2
−→
+ CA
2
−→
−→
−→ −→
−2 CA · BC · cos(∠{CA, CB}).
Wyprowad´ stad twierdzenie Pitagorasa.
z ˛
5. Je˙ eli A, B,C sa˛ trzema ró˙ nymi punktami przestrzeni euklidesowej, to
z
z
−→
−→ −→
(CA, CB) =
2
CA
−→
+ CB
2
2
−→
− AB
2
.
6. Je˙ eli A, B,C sa˛ wierzchołkami trójkata oraz punkt D jest rzutem punktu C na prosta˛ AB (spodek wysoko´ci trójkata
z
˛
s
˛
−→
ABC), to
CD
−→ −→
−→ −→
2 = (CA, CB) − (DA, DB).
−→ −→
−→
Ponadto je´li wektory CA, CB sa prostopadłe, to
s
˛
2=
CD
−→
−→
DA · DB .
´
7. Je˙ eli A, B,C sa˛ wierzchołkami trójkata oraz punkt S jest srodkiem odcinka AB, to
z
˛
−→
CS
2
−→
−→
−→ −→
1
= CA · CB · cos(∠{CA, CB}) +
4
−→
AB
−→
2
oraz
CS
−→
2
=
2 CA
2
−→
+2 CB
2
2
−→
− AB
2
.
8. Twierdzenie sinusów. Je˙ eli A, B,C sa˛ wierzchołkami trójkata, to
z
˛
−→
−→
−→
AC
BC
AB
−→ −→
sin(∠{BA, BC})
=
−→ −→
sin(∠{AB, AC})
=
−→ −→
.
sin(∠{CA, CB})
9. Wzór Herona. Pole trójkata o bokach a, b, c wyra˙ a si˛ wzorem s = p(p − a)(p − b)(p − c), gdzie p = a+b+c .
˛
z e
2
10. Twierdzenie Ptolemeusza. W czworokacie wpisanym w okrag iloczyn długo´ci przekatnych jest równy sumie ilo˛
˛
s
˛
czynów długo´ci boków przeciwległych.
s
Wskazówki do rozwiazania powy˙ szych zada´ a tak˙ e dowody wielu innych interesujacych faktów geometrycznych
˛
z
n
z
˛
mo˙ na znale´ c w ksia˙ ce Edwarda Piegata pt. „Wektory i geometria", PZWS, Warszawa 1964.
z
z´
˛z
2
... zobacz całą notatkę