Funkcje - pojęcia podstawowe

Nasza ocena:

3
Pobrań: 28
Wyświetleń: 770
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Funkcje - pojęcia podstawowe - strona 1 Funkcje - pojęcia podstawowe - strona 2 Funkcje - pojęcia podstawowe - strona 3

Fragment notatki:


1 Funkcje - pojęcia podstawowe 1.1 Definicje •  Funkcją  określoną na zbiorze  X  o wartościach w zbiorze  Y  nazywać będziemy każde przypo- rządkowanie elementowi zbioru  X  elementu zbioru  Y  . • Oznaczać będziemy to w sposób następujacy:  f  :  X → Y  (co odczytujemy  funkcja f działa ze zbioru X w zbiór Y  ) • Istotną cechą tego przyporządkowania jest fakt, że  jednemu elementowi zbioru X można przypo- rządkować  tylko jeden  element zbioru Y  . Natomiast, naturalnym stanem rzeczy jest, że kilku elementom ze zbioru  X  przyporządkowujemy jeden element ze zbioru  Y  , jak np.: w przypadku funkcji kwadratowej (dla  f  ( x ) =  x 2,  f  ( − 1) =  f  (1) = 1). • Zbiór elementów  X  dla których określona jest funkcja  f  nazywamy  dziedziną  funkcji (ozna- czaną jako  D , bądź  Df  dla podkreślenia, że jest to dziedzina funkcji  f  ), a zbiór elementów ze zbioru  Y  , przyporządkowanych elementom dziedziny nazywamy  zbiorem wartości  funkcji. • Kiedy dwie funkcje sa sobie równe? Dwa warunki, określające równość funkcji  f  ( x ) i  g ( x ) to: - równość dziedzin  Df ≡ Dg ; - przyporządkowywanie tych samych wartości tym samym elementom dziedziny, tzn. :  ∀x ∈ Df f  ( x ) =  g ( x ). • Warto zauważyć, że niekiedy jedna funkcja może być zapisana w różny sposób. Opierając się na wiedzy z poprzedniego rozdziału, łatwo zauważyć, że funkcje  f  ( x ) =  |x|  i  g ( x ) = √ x 2 są sobie równe. Przy porównywaniu funkcji warto pamiętać o sprawdzaniu równości dziedzin, bo paradoksalnie funkcje  f  ( x ) =  x  + 1 i  g ( x ) = x 2 − 1 x− 1 nie są sobie równe, mimo, że po uproszczeniu  g ( x ) będzie przyjmowała te same wartości co  f  ( x ) ( g ( x ) = x 2 − 1 x− 1 =  x −  1). Powodem tego jest nierówność dziedzin, gdyż  Df  = IR a  Dg  = IR \{ 1 } 1.2 Własności • Funkcję  f  :  X → Y  nazywać będziemy  injekcją  (iniekcją) (lub  funkcją różnowartościową albo  typu ”1-1” ), jeśli różnym argumentom przypisywać będzie różne wartości, co możemy sformalizować następująco: ∀x 1 , x 2  ∈ Df x 1 =  x 2  ⇒ f  ( x 1) =  f  ( x 2) • implikacją faktu bycia funkcją różnowartościową, jest obserwacja, że jeśli dla  x 1 i  x 2 wartości f  ( x 1) i  f  ( x 2) są sobie równe, to równe sobie muszą być również wartości  x 1 i  x 2. Z faktu tego korzystamy bardzo często (zwykle nawet sobie tego nie uświadamiając). Bo jeśli, przykładowo, z równości 2 a− 3 = 2 a +1 wyciągamy wniosek, że 

(…)

…) → x + 1(= y + 1 = z) → ( x + 1)2 (= (y + 1)2 = z 2 )
zatem

( x + 1)2 = f (g(h(x))),
gdzie h(x) =

x, g(y) = y + 1, f (z) = z 2
• Funkcję f (x) nazwiemy funkcją ograniczoną z góry, jeśli zbiór wartości funkcji jest zbiorem
ograniczonym z góry, tzn. supremum zbioru wartości jest liczbą skończoną (różną od +∞).
Analogicznie funkcja jest ograniczona z dołu jeśli infimum zbioru wartości jest liczbą…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz