To tylko jedna z 3 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
M. Twardowska
Funkcje cyklometryczne
1
Funkcje cyklometryczne
Funkcje trygonometryczne sin x, cos x, tg x
odwrotne). Z tego powodu zawężamy te funkcje
Def:
Niech f : X → Y. Zawężeniem funkcji f do
równa funkcji f na zbiorze A, tzn ∀x ∈ A
π π
sin : − ,
2 2
cos : 0, π
π π
tg : − ;
2 2
ctg : (0, π)
x → y = sin x ∈ −1 : 1
x → y = cos x ∈ −1 : 1
i ctg x – nie są bijekcjami (więc nie istnieją dla nich funkcje
tak, aby były bijekcjami:
zbioru A ⊂ X nazywamy funkcję f|A : A → Y, która jest
f|A (x) = f (x)
– jest bijekcją i funkcja odwrotna do niej nazywa się arcus sinus.
– jest bijekcją i funkcja odwrotna do niej nazywa się arcus cosinus.
x → y = tg x ∈ R – jest bijekcją i funkcja odwrotna do niej nazywa się arcus tangens.
x → y = ctg x ∈ R – jest bijekcją i funkcja odwrotna do niej nazywa się arcus cotangens.
Def:
Funkcją arcus sinus nazywamy funkcję odwrotną do funkcji sinus zawężonej do przedziału
arc sin : −1; 1
x → y = arc sin x ∈ − π ; π , przy czym y = arc sin x ⇔ x = sin y.
2 2
Czyli
π π
y = arc sin x ⇔ x = sin y ∧ y ∈ − ,
2 2
Przykłady:
π
1
= − , bo: − ∈ −1 : 1 ;
6
2
√
π
π
2
2. arc sin x =
⇔
x = sin =
4
4
2
1. arc sin −
1
2
−
π
π π
∈ − ;
6
2 2
i sin −
π
6
=−
− π , π . A więc
2 2
1
2
Def:
Funkcją arcus cosinus nazywamy funkcję odwrotną do funkcji cosinus zawężonej do przedziału
więc arc cos : −1, 1
x → y = arc cos x ∈ 0, π , przy czym y = arc cos x ⇔ x = cos y.
Czyli:
y = arc cos x ⇔ x = cos y ∧ y ∈ 0, π
0, π . A
Przykłady:
1. arc cos −
1
2
2. arc cos x = π
=
2π
2π
1
2π
, bo cos
=−
i
∈ 0, π
3
3
2
3
⇔
x = cos π = −1
Def.
Funkcją arcus tangens nazywamy funkcję odwrotną do funkcji tangens zawężonej do przedziału
π π
, przy czym y = arc tg x ⇔ x = tg y
A więc arc tg : R x → y = arc tgx ∈ − ;
2 2
Czyli
π π
y = arc tg x ⇔ x = tg y ∧ y ∈ − ;
2 2
Przykłady:
√
√
π
π
π π
π
1. arc tg 3 = , bo:
∈ − ;
i tg
= 3
3
3
2 2
3
π
π
2. arc tg x = −
⇔
x = tg −
= −1
4
4
π π
− ,
.
2 2
M. Twardowska
Funkcje cyklometryczne
2
Def.
Funkcją arcus cotangens nazywamy funkcję odwrotną do funkcji cotangens zawężonej do przedziału (0, π) .
A więc arc ctg : R x → y = arc ctg x ∈ (0, π) , przy czym y = arc ctg x ⇔ x = ctg y.
Czyli:
y = arc ctg x ⇔ x = ctg y ∧ y ∈ (0, π) .
Przykłady:
√
5
5
1. arc ctg − 3 = π, bo:
π ∈ 0, π
6
6
3
2. arc ctg x = π
4
⇔
x = ctg
i ctg
3
π
4
5
π
6
√
=− 3
= −1
Tożasamości z funkcjami cyklometrycznymi
π
dla |x| ≤ 1
2
π
π
π π
⇔ x = cos
−y ∧
− y ∈ 0, π
arc sin x = y ⇔ x = sin y ∧ y ∈ − ;
2 2
2
2
π
π
⇔ arc cos x = − y ⇔ arc cos x = − arc sin x
2
2
π
dla x ∈ R
2. arc tg x + arc ctg x =
2
π
π
π π
⇔ x = ctg
−y ∧
− y ∈ 0, π
arc tg x = y ⇔ x = tg y ∧ y ∈ − ;
2 2
2
2
π
π
⇔ arc ctg x = − y ⇔ arc ctg x = − arc tg x
2
2
1. arc sin x + arc cos x =
1
dla x 0
x
π
⇔
y = arc tg x ⇔ x = tg y ∧ y ∈ 0,
2
1
1
⇔ y = arc ctg
⇔ arc tg x = arc ctg
x
x
3. arc tg x = arc ctg
4. arc tg x = arc ctg
⇔
⇔
5. arc sin(−x) = − arc sin x
dla |x| ≤ 1
⇔
6. arc cos(−x) = π − arc cos x
y = arc cos(−x)
⇔
z =y+π
π
z∈
,π
2
π π
π π
−x = sin y ∧ y ∈
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)