To tylko jedna z 3 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Przykład 2.1. Figura ze środkiem symetrii
Polecenie: Wyznaczyć główne centralne momenty bezwładności oraz kierunki główne dla
poniższej figury korzystając z metody analitycznej i graficznej (konstrukcja koła Mohra).
3r
3r
3r
3r
3r
3r
3r
3r
Rozpatrywana figura ma środek symetrii w punkcie przecięcia przekątnych prostokąta,
w który jest wpisana. Środek ciężkości figury leży w jej środku symetrii. Przez środek
symetrii prowadzimy osie centralne x c i y c . Następnie dzielimy figurę na prostokąt i dwa
półkola, które traktujemy jako pola ''ujemne''.
yc
yc
yc
3r
3r
6r
3r
C
3r
xc
C=C1
xc
3r
3r
6r
C2
y c3
C
3r
3r
6r
x c2
xc
C3
x c3
3r
3r
y c2
3r
3r
W związku z tym, że własne osie centralne figury II i III (górnego i dolnego półkola)
nie pokrywają się z osiami centralnymi całej figury, będziemy korzystać z twierdzenia
Steinera. Wyznaczmy zatem pola powierzchni i współrzędne środków ciężkości dla tych figur
w układzie x c y c .
1
9
2
~ = 3r − 4 ⋅ 3r = 3r − 4r ,
~ = 3r
A II = ⋅ π ⋅ (3r ) = πr 2 ,
xc 2
yc2
2
2
π
3 π
1
9
2
~ = −⎛ 3r − 4 ⋅ 3r ⎞ = −3r + 4r ,
~ = −3r
xc 3
A III = ⋅ π ⋅ (3r ) = πr 2 ,
yc3
⎜
⎟
2
2
π
3 π ⎠
⎝
1
9
⎡1
3
4
2⎤
I xc = ⋅ 6r ⋅ (12r ) − 2 ⋅ ⎢ ⋅ π ⋅ (3r ) + πr 2 ⋅ (3r ) ⎥ = 545.91r 4
12
2
⎣8
⎦
2
2
⎧⎡ 1
1
9 2 ⎛ 4 3r ⎞ ⎤ 9 2 ⎛
4 3r ⎞ ⎫
⎪
⎪
3
4
I yc = ⋅ 12r ⋅ (6r ) − 2 ⋅ ⎨⎢ ⋅ π ⋅ (3r ) − πr ⋅ ⎜ ⋅ ⎟ ⎥ + πr ⋅ ⎜ 3r − ⋅ ⎟ ⎬ = 113.91r 4
12
2
3 π ⎠ ⎪
⎝
⎝3 π ⎠ ⎥ 2
⎪⎢ 8
⎦
⎩⎣
⎭
2
⎡
9
4 3r ⎞ ⎤
⎛
I xc yc = 0 − 2 ⋅ ⎢0 + πr 2 ⋅ 3r ⋅ ⎜ 3r − ⋅ ⎟ ⎥ = −146.47 r 4
2
3 π ⎠ ⎥
⎝
⎢
⎣
⎦
Wyznaczamy teraz kierunki główne.
− 2 I xC yC
− 2 ⋅ (− 146.47 r 4 )
tg 2ϕ o =
=
= 0.6781
I xC − I yC 545.91r 4 − 113.91r 4
2ϕ o = 0.5959rad ,
ϕ o = 0.2979rad .
Ponieważ I xc I yc to ϕ1 = ϕ o = 0.2979 rad, natomiast ϕ 2 = ϕ o +
π⎞
π ⎛
= ⎜ 0.2979 + ⎟ rad =
2⎠
2 ⎝
=1.8687rad
Główne centralne momenty bezwładności przyjmują następujące wartości:
I 1 = I max =
I xc + I y c
2
2
⎛ I x − I yc
+ ⎜ c
⎜
2
⎝
⎞
⎟ + I xc y c 2 =
⎟
⎠
⎛ 545.91r 4 − 113.91r 4
545.91r 4 + 113.91r 4
=
+ ⎜
⎜
2
2
⎝
I 2 = I min =
I xc + I y c
2
⎛ I x − I yc
− ⎜ c
⎜
2
⎝
2
⎞
⎟ + − 146.47r 4
⎟
⎠
(
)
= 590.89r 4
2
⎞
⎟ + I xc y c 2 =
⎟
⎠
2
⎛ 545.91r 4 − 113.91r 4 ⎞
545.91r 4 + 113.91r 4
⎟ + − 146.47r 4
=
− ⎜
⎜
⎟
2
2
⎝
⎠
Na poniższym rysunku przedstawione są kierunki główne.
kierunek Imin
2
(
)
2
= 68.93r 4
yc
ϕ2 = ϕo +
3r
3r
π
2
kierunek Imax
ϕ1 = ϕ o = 0.2979rad
C
3r
xc
3r
3r
3r
Główne centralne momenty bezwładności oraz kierunki główne można wyznaczyć
metodą graficzną, stosując konstrukcję koła Mohra. Korzystamy z wyznaczonych wartości
momentów bezwładności w układzie x c y c
I xc = 545.91r 4 , I yc = 113.91r 4 ,
oraz wartości momentu dewiacyjnego
2
Momenty dewiacyjne
I xc yc = −146.47 r 4 .
kierunek minimalnego
momentu bezwładności
kierunek maksymalnego
momentu bezwładności
D
O E
R
ϕo
C
B
F
A
Momenty bezwładności
Przyjęta skala: 100 r4
( )
B (I ,0 )
A I xc ,0
I2
I yc
(I
xc
+ I yc
yc
)
⎛ I x + I yc ⎞
C⎜ c
,0 ⎟
⎜
⎟
2
⎝
⎠
D I xc ,− I
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)