To tylko jedna z 2 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Przykład 2.4. Figura z dwiema osiami symetrii
Polecenie: Wyznaczyć główne centralne momenty bezwładności oraz kierunki główne dla
poniższej figury.
4a
2a
2a
4a
4a
2a
2a
4a
Dla rozważanej figury przyjmiemy dwa współśrodkowe układy współrzędnych xy oraz
ξη. Oba układy są układami centralnymi. Układ ξη jest ponadto układem osi głównych,
ponieważ osie ξ i η są osiami symetrii figury. Należy oczywiście ustalić, która z osi układu ξη
jest osią maksymalnego momentu bezwładności, a która osią minimalnego momentu
bezwładności.
y
y
η
I
4a
x
C
2a
II
III
x
C
2a
4a
ξ
4a
2a
2a
4a
4a
2a
2a
4a
Moment bezwładności rozpatrywanej figury względem osi x policzymy jako
podwojoną sumę momentów bezwładności figur składowych (figury I, II i III).
1
1
⎡1
3
3
3⎤
I x = 2 ⋅ ⎢ ⋅ 2a ⋅ (6a ) + ⋅ 4a ⋅ (2a ) + ⋅ 2a ⋅ (2a ) ⎥ = 312a 4
3
12
⎣3
⎦
Moment bezwładności figury względem osi y ma taką samą wartość.
I y = I x = 312a 4
Wyznaczymy teraz moment bezwładności względem osi η, stosując nowy podział na
figury składowe. Figury II i IV traktujemy jako pola "ujemne". Momenty bezwładności figury
I i II mnożymy przez dwa, natomiast moment bezwładności figury IV mnożymy przez cztery.
η
η
η
II
I
6a
2 2a
III
2a
IV
4a
6a
2a
2 2a
4a
Centralny moment bezwładności kwadratu nie zależy od kierunku osi centralnej. Oś η
jest osią centralną dla kwadratu I, II i III.
4
3
1
1
1
1
⎡1
4
4⎤
I η = 2 ⋅ ⎢ ⋅ (6a ) − ⋅ (4a ) ⎥ + ⋅ 2 2a − 4 ⋅ ⋅ 2 2a ⋅ 2 2a = 177 a 4
12
12
3
⎣12
⎦ 12
W dalszych obliczeniach wykorzystamy to, że suma momentów bezwładności
względem obu osi układów współśrodkowych jest stała.
I x + I y = Iξ + Iη
(
)
(
)(
)
1
2
I ξ = I x + I y − I η = 2 ⋅ I x − I η = 2 ⋅ 312a 4 − 177 a 4 = 446 a 4
3
3
Z porównania wartości głównych momentów bezwładności wynika, że oś ξ jest kierunkiem
maksymalnego momentu bezwładności a oś η jest kierunkiem minimalnego momentu
bezwładności.
1
2
I η = I min = I 2 = 177 a 4 ,
I ξ = I max = I 1 = 446 a 4
3
3
czyli
η -kierunek minimalnego
momentu bezwładności
π
ϕ2 =
4
x
C
ϕ1 = −
π
4
ξ-kierunek maksymalnego
momentu bezwładności
2
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)