13. Fale w ośrodkach sprężystych Ruch falowy jest bardzo rozpowszechniony w przyrodzie. Na co dzień doświadczamy obecności fal dźwiękowych i fal świetlnych. Powszechnie też wykorzystujemy fale elektromagnetyczne do przekazywania informacji za pomocą radia, telewizji czy przenośnych telefonów. Fale dźwiękowe czy też fale jakie obserwujemy na powierzchni wody posiadają jednak inną naturę niż fale elektromagnetyczne. Światło będące przykładem fali elektromagnetycznej rozchodzi się nie tylko w ośrodkach materialnych ale również w próżni. Przykładem jest docierające do nas światło słoneczne. Natomiast do rozchodzenia się fal dźwiękowych niezbędny jest ośrodek materialny. W tym rozdziale poznamy właściwości fal powstających w ośrodkach sprężystych (takich jak fale dźwiękowe), które nazywamy falami mechanicznymi . 13.1 Fale mechaniczne Jeżeli wychylimy jakiś fragment ośrodka sprężystego z jego położenia równowagi to w następstwie będzie on wykonywał drgania wokół tego położenia. Te drgania, dzięki właściwościom sprężystym ośrodka, są przekazywane na kolejne części ośrodka, które zaczynają drgać. W ten sposób zaburzenie przechodzi przez cały ośrodek. Definicja Ruchem falowym nazywamy rozchodzenie się zaburzenia w ośrodku. Zwróćmy uwagę, że sam ośrodek nie przesuwa się, a jedynie jego elementy wykonują drgania. Dobrym przykładem są tu fale na powierzchni wody: przedmioty pływające na powierzchni wody wykonują ruch drgający w rytm fal natomiast same fale rozchodzą się ruchem jednostajnym. Fala dobiegając do danego punktu ośrodka wprawia go w ruch drgający przekazując mu energię, która jest dostarczana przez źródło drgań. Energia fal to energia kinetyczna i potencjalna cząstek ośrodka. Za pomocą fal można przekazywać energię na duże odległości przy czym cechą charakterystyczną jest to, że fale przenoszą energię poprzez ośrodek dzięki przesuwaniu się zaburzenia w ośrodku, a nie dzięki ruchowi postępowemu samego ośrodka. Jak wynika z powyższego, do rozchodzenia się fal mechanicznych potrzebny jest ośrodek. To właściwości sprężyste ośrodka decydują o prędkości rozchodzenia się fali. Rodzaje fal Ze względu na kierunek drgań cząstek ośrodka względem kierunku rozchodzenia się fale dzielimy na fale podłużne i fale poprzeczne . Fala jest podłużna gdy kierunek drgań cząstek ośrodka jest równoległy do kierunku rozchodzenia się fali i zarazem kierunku transportu energii (rysunek-animacja 13.1). Przykładem są tu fale dźwiękowe w powietrzu czy też drgania naprzemiennie ściskanej i rozciąganej sprężyny. Kliknij w dowolnym miejscu na rysunku żeby uruchomić animację. Ponowne kliknięcie oznacza powrót do początku.
(…)
…), a jego bezwładność zależy od masy µ przypadającej na jednostkę długości sznura. Równanie ruchu falowego można wyprowadzić bezpośrednio z zasad dynamiki Newtona obliczając prędkość fal w naprężonym sznurze . Prędkość grupowa Rozważmy, dwie poprzeczne fale sinusoidalne o zbliżonych częstotliwościach i długościach fal (rysunek 1) opisane równaniami (1)
Sumą takich dwóch fal (rysunek 1) jest fala (2)
Rys. 1…
…)
oraz (13.21)
i podstawiamy do wyrażenia na moc (13.22)
Korzystając z zależności (13.7) oraz (13.16) otrzymujemy ostatecznie (13.23)
Zauważmy, że moc czyli szybkość przepływu energii oscyluje w czasie. Widzimy ponadto, że szybkość przepływu energii jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy i kwadratu częstotliwości. Ta zależność jest prawdziwa dla wszystkich typów fal. 13.5 Interferencja fal, fale stojące…
… prześledzić interferencję fal w zależności od różnicy faz φ. Przed uruchomieniem zobacz krótki opis programu. Program można uruchomić (przeglądarka IE) z bieżącej lokalizacji lub zapisać go na dysku twardym własnego komputera.
Fale stojące Ponownie zajmiemy się interferencją dwu fal o równych częstotliwościach i amplitudach ale rozchodzących się w przeciwnych kierunkach na przykład +x i x. Z taką…
… harmonicznym prostym ale w przeciwieństwie do fali bieżącej różne punkty ośrodka mają różną amplitudę drgań zależną od ich położenia x. Taką falę nazywamy falą stojącą . Punkty, dla których kx = π/2, 3π/2, 5π/2, itd. czyli znajdujące się w położeniach x = λ/4, 3λ/4, 5λ/4 itd. mają maksymalną amplitudę. Punkty te nazywamy strzałkami , a punkty dla których kx = π, 2π, 3π itd. tj. takie, że x = λ/2, λ, 3λ/2 itd. mają zerową amplitudę i nazywane są węzłami . Widać, że odległości między kolejnymi węzłami i strzałkami wynoszą pół długości fali. Sytuacja ta jest przedstawiona na rysunku-animacji 13.9, gdzie pokazane są drgania struny zamocowanej na obu końcach. Kliknij w dowolnym miejscu na rysunku żeby uruchomić animację. Ponowne kliknięcie oznacza powrót do początku. Rys. 13.11. Fale stojąca dla struny zamocowanej…
… i wyznacz następujące wielkości: długość fali λ, częstość ω, okres T, prędkość rozchodzenia się fali (w kierunku x), maksymalną prędkość i maksymalne przyspieszenie cząstek ośrodka w ich ruchu drgającym (w kierunku y). Sprawdź obliczenia i wynik. 13.3 Prędkość rozchodzenia się fal, równanie falowe Jeżeli chcemy zmierzyć prędkość fali v to śledzimy jak przemieszcza się w czasie wybrana część fali…
…)
Uwzględniając, że otrzymujemy (4)
Jest to równanie falowe dla sznura (struny). Podstawmy teraz do tego równania odpowiednie pochodne równania fali harmonicznej (5)
oraz (6)
W wyniku podstawienia otrzymujemy (7)
Stąd możemy już obliczyć prędkość fali (8)
W ten sposób pokazaliśmy również, że zaproponowana przez nas funkcja (13.8) jest rozwiązaniem równania falowego (4) jeżeli spełniona jest zależność (7). Zwróćmy ponadto uwagę, że fala harmoniczna jest przenoszona wzdłuż struny z prędkością niezależną od amplitudy i częstotliwości. Przepiszmy teraz równanie falowe z uwzględnieniem zależności (8)
(9)
Równanie falowe w tej postaci, stosuje się do wszystkich rodzajów rozchodzących się fal. 13.4 Przenoszenie energii przez fale Jak już wspominaliśmy fale przenoszą dostarczoną ze źródła energię poprzez…
… przekroju strugi.
Linie prądu muszą się zagęszczać w węższej części, a rozrzedzać w szerszej. To znaczy, rzadko rozmieszczone linie oznaczają obszary niskiej prędkości, linie rozmieszczone gęsto obszary wysokiej prędkości. 14.5 Równanie Bernoulliego Rozważmy, pokazany na rysunku 14.7, nielepki, ustalony, nieściśliwy przepływ płynu w strudze. Płyn na rysunku przemieszcza się w stronę prawą. W czasie Δt powierzchnia S1 przemieszcza się o odcinek v1Δt. Analogicznie powierzchnia S2 przemieszcza się o odcinek v2Δt. Na powierzchnię S1 działa siła F1 = p1S1, a na powierzchnię S2 siła F2 = p2S2.
Rys. 14.7. Wyprowadzenie równania Bernoulliego
Skorzystamy teraz z twierdzenia o pracy i energii, które mówi, że praca wykonana przez wypadkową siłę jest równa zmianie energii układu. Siłami, które wykonują pracę są F1…
… dotarła fala. Przesuwanie się tej powierzchni obrazuje rozchodzenie się fali. Właśnie taką powierzchnię nazywamy czołem fali (lub powierzchnią falową), a każdą linię prostą, prostopadłą do czoła fali, wskazującą kierunek ruchu fali nazywamy promieniem fali. Ze względu na kształt powierzchni falowej możemy wyróżnić fale płaskie i fale kuliste .
W przypadku fal płaskich zaburzenie rozchodzi się w jednym…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)