To tylko jedna z 15 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Ruch drgający i falowy Ruch drgający prosty Ruch drgający prosty jest ruchem najczęściej spotykanym w przyrodzie. Przykładami takiego ruchu są: ruch struny instrumentu, ruch ciężarka zawieszonego na sprężynie, ruch wahadła czy ruch tłoka w silniku. Przyczyną tego ruchu jest siła sprężystości. Wielkości związane z tym ruchem: x - wychylenie w danej chwili, odległość ciała od położenia równowagi A - amplituda drgań, największe wychylenie z położenia równowagi T - okres drgań f - częstotliwość drgań, ilość drgań w jednostce czasu - częstość kołowa - faza drgań = Ruch drgający można rozpatrywać jako rzut ruchu po okręgu. Z rysunku odczytujemy, że: Przekształcając równania otrzymujemy równanie ruchu drgającego. Ruch drgający, odbywający się pod działaniem siły sprężystości, w którym przyspieszenie w każdym punkcie ruchu jest wprost proporcjonalne do wychylenia, nosi nazwę ruchu drgającego prostego albo harmonicznego.Ciało drgające to oscylator harmoniczny. Jak widać w równaniu ruchu drgającego wychylenie w ruchu harmonicznym zmienia się w czasie sinusoidalnie. Tą zależność przedstawia wykres: Prędkość, przyspieszenie i siła Rozważmy ponownie ruch harmoniczny jako rzut ruchu jednostajnego po okręgu. Wykorzystując zależności pokazane na rysunku wyprowadźmy wzór na prędkość w ruchu harmonicznym. prędkość ciała poruszającego się po okręgu składowa prędkości promień okręgu Korzystamy z wzoru na prędkość w ruchu po okręgu: Jak wynika z rysunku za r możemy podstawić A (największe wychylenie) i otrzymuje wzór na prędkość w ruchu harmonicznym. Prędkość maksymalną ciała osiąga w położeniu równowagi. Zależność prędkości od czasu w ruchu harmonicznym przedstawia wykres: Wzór na prędkość w ruchu harmonicznym można także wyprowadzić obliczając pochodną V=dx/dt. Wykonajmy podobny rysunek i wyprowadźmy wzór na przyspieszenie w ruchu harmonicznym. Korzystając z rysunku odczytujemy zależności: Za podstawiamy wzór na przyspieszenie w ruchu po okręgu: Otrzymujemy wzór na przyspieszenie w ruchu harmonicznym: Znak minus oznacza, że kierunek przyspieszenia jest przeciwny względem kierunku wychylenia. Przyspieszenie maksymalne ciało osiąga w punkcie największego wychylenia: Zależność przyspieszenia od czasu w ruchu harmonicznym przedstawia wykres: Wzór na przyspieszenie w ruchu harmonicznym można wyprowadzić także obliczając pochodną a=dV/dt. Ruch drgający prosty jest ruchem niejednostajnie zmiennym. Siła w ruchu harmonicznym jest wprost proporcjonalna do wychylenia i przeciwnie zwrócona. Możemy wyprowadzić jej wzór, korzystając z II zasady dynamiki: Po podstawieniu wartości przyspieszenia w ruchu harmonicznym otrzymujemy: Aby zapisać powyższą równość w prostszy sposób wprowadza się współczynnik proporcjonalności k:
(…)
… w granicach od zera do wartości podwójnej amplitudy fali pierwotnej. Drgania te nazywamy właśnie falą stojącą. Długość ośrodka musi być równa całkowitej wielokrotności połowy długości fali. Strzałki fali stojącej to punkty o największej amplitudzie drgań. Węzły fali stojącej to punkty niedrgające (nie wykonujące drgań). Wyprowadźmy równanie fali stojącej oraz warunki na strzałki i węzły. Skorzystamy z równania fali: Zgodnie z definicją fali stojącej dodajemy równania obu fal: Korzystamy ze wzoru na sumę funkcji trygonometrycznych: Otrzymaliśmy wzór równania fali stojącej, z którego możemy wyprowadzić warunki na węzeł i strzałkę fali stojącej. WĘZEŁ Fala stojąca jest węzłem, gdy odległość jest równa nieparzystej wielokrotności ćwiartki długości fali. Wykażmy, że między dwoma sąsiednimi węzłami jest zawsze połowa długości fali. Korzystając z powyższych równań uzyskamy wzór na różnicę odległości między dwoma sąsiednimi węzłami. STRZAŁKA Fala stojąca jest strzałką, gdy odległość jest równa całkowitej wielokrotności połowy długości fali. Wykażmy, że między dwoma sąsiednimi strzałkami jest zawsze połowa długości fali. Energia fali Fala przenosi energię od źródła drgań, które ją wysyła, przy czym energia…
… je do wyżej otrzymanego wzoru i uzyskujemy: Fala stojąca
Szczególnym przypadkiem interferencji fal jest powstawanie fali stojącej, będącej wynikiem nakładania się dwóch fal o jednakowych amplitudach, częstościach i prędkościach, rozchodzących się w przeciwnych kierunkach. Falę stojącą można otrzymać najprościej na naciągniętym sprężystym sznurze. Jeśli jeden z jego końców tego sznura wprawimy w ruch drgający…
… powierzchniowe (dwuwymiarowe) - np. na wodzie, fale przestrzenne (trójwymiarowe) - np. dźwięk w powietrzu. W zależności od kierunku drgań cząsteczek ośrodka w stosunku do kierunku rozchodzenia się fali rozróżnia się fale poprzeczne i fale podłużne. Fala poprzeczna to taka fala, której cząsteczki ośrodka drgają w kierunku prostopadłym do kierunku rozchodzenia się fali. Można ją otrzymać na przykład przez szybkie poruszanie się w górę i w dół jednego końca gumowego sznura, przymocowanego drugim końcem do ściany. Powstanie fali poprzecznej wiąże się ze zmianą kształtu ciała, a więc może się ona rozchodzić jedynie w ośrodkach mających sprężystość postaci (głównie w ciałach stałych). Cząsteczki ośrodków doskonale sprężystych wykonują drgania harmoniczne, zatem fala poprzeczna rozchodząca się w takim ośrodku ma postać…
… fala podłużna polega na zagęszczaniu i rozrzedzaniu drgających warstw powietrza. Ponieważ rozchodzenie się fal podłużnych jest związane z okresowymi zmianami gęstości ośrodka, fale te mogą się rozchodzić we wszystkich ośrodkach wykazujących sprężystość objętości, a więc zarówno w ciałach stałych, cieczach jak i w gazach. Prędkość fali podłużnej w płynach lub cienkich, długich prętach wynosi: - moduł…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)