To tylko jedna z 11 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Kartografia matematyczna. Elementy teorii powierzchni. Odwzorowanie powierzchni na powierzchnię. 1 4. Elementy teorii powierzchni. Odwzorowanie powierzchni na powierzchnię. 4.1. Powierzchnie Powierzchnią w geometrii róŜniczkowej nazywamy zbiór punktów przestrzeni, których połoŜenie określa w sposób jednoznaczny ciągła i dwukrotnie róŜniczkowalna w pewnym obszarze (D) funkcja wektorowa r dwóch niezaleŜnych od siebie parametrów u i v Równanie: ) , ( v u r r = (1) nazywamy wektorowym równaniem powierzchni. W układzie ortokartezjańskim równanie powierzchni ma postać: k v u z j v u y i v u x r ⋅ + ⋅ + ⋅ = ) , ( ) , ( ) , ( (2) lub inaczej )] , ( ), , ( ), , ( [ v u z v u y v u x r = (3) Równanie wektorowe jest równowaŜne układowi trzech równań skalarnych: = = = ) , ( ) , ( ) , ( v u z z v u y y v u x x (4) które, nazywa się równaniem parametrycznym powierzchni. Krzywe na powierzchni określone równaniem postaci = = const v const u (5) nazywamy liniami stałego parametru lub odpowiednio liniami współrzędnych u i v danego przedstawienia parametrycznego powierzchni. Linie te tworzą na powierzchni tzw. siatkę Gaussa (rys. 2) lub siatkę współrzędnych Gaussa. 4.2 Pierwsza forma kwadratowa powierzchni y x z i j k M S Rys. 1 const u = Rys. 2 const v = Kartografia matematyczna. Elementy teorii powierzchni. Odwzorowanie powierzchni na powierzchnię. 2 Weźmy powierzchnię daną równaniem wektorowym ) , ( v u r r = . Na tej powierzchni przez punkt P prowadzimy linie parametryczne u=const., v=const . Parametrom u i v (liniom parametrycznym) nadajemy róŜniczki du i dv . W wyniku tego otrzymujemy nowe linie parametryczne przecinające się w punkcie P1 (rys. 3). Punkty P i P1 łączymy łukiem o długości ds ; chcemy znaleźć długość ds . Wyznaczymy w tym celu róŜniczkę r d wektora r : dv r du r dv v r du u r r d v u + = ∂
(…)
… i wyprostować na płaszczyźnie. Dla kuli jest to jednak
niemoŜliwe, poniewaŜ kula nie jest rozwijalna na płaszczyznę. Dlatego teŜ bierzemy
powierzchnie, którą łatwo moŜemy rozwinąć. Gdy stycznie do kuli
przykładamy płaszczyznę to mamy odwzorowanie płaszczyznowe zwane
równieŜ odwzorowaniem azymutalnym.
Gdy weźmiemy walec styczny do kuli wzdłuŜ dowolnego koła wielkiego,
zrzutujemy punkty z powierzchni kuli na pobocznicę walca a następnie
rozetniemy ją wzdłuŜ tworzącej to otrzymamy odwzorowanie walcowe.
MoŜna takŜe uŜyć jako powierzchnie obrazu pobocznicę walca połoŜoną
stycznie do powierzchni kuli wzdłuŜ dowolnego koła małego a następnie
rozciąć ją wzdłuŜ tworzącej. Będziemy mieli wtedy odwzorowanie stoŜkowe.
11
…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)