Elem teorii powierzchni

Nasza ocena:

5
Pobrań: 14
Wyświetleń: 721
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Elem teorii powierzchni - strona 1 Elem teorii powierzchni - strona 2 Elem teorii powierzchni - strona 3

Fragment notatki:

Kartografia matematyczna. Elementy teorii powierzchni. Odwzorowanie powierzchni na powierzchnię.   1  4.  Elementy  teorii  powierzchni.  Odwzorowanie  powierzchni  na  powierzchnię.    4.1. Powierzchnie    Powierzchnią  w  geometrii  róŜniczkowej  nazywamy  zbiór  punktów  przestrzeni,  których  połoŜenie  określa  w  sposób  jednoznaczny  ciągła  i  dwukrotnie  róŜniczkowalna  w  pewnym obszarze (D) funkcja wektorowa  r  dwóch niezaleŜnych od siebie parametrów u i v  Równanie:  ) , ( v u r r =             (1)  nazywamy wektorowym równaniem powierzchni.      W układzie ortokartezjańskim równanie powierzchni ma postać:    k v u z j v u y i v u x r ⋅ + ⋅ + ⋅ = ) , ( ) , ( ) , (       (2)    lub inaczej    )] , ( ), , ( ), , ( [ v u z v u y v u x r =            (3)      Równanie wektorowe jest równowaŜne układowi trzech równań skalarnych:       = = = ) , ( ) , ( ) , ( v u z z v u y y v u x x              (4)  które, nazywa się równaniem parametrycznym powierzchni.    Krzywe na powierzchni określone równaniem postaci       = = const v const u              (5)                    nazywamy  liniami  stałego  parametru  lub  odpowiednio  liniami  współrzędnych  u  i  v  danego  przedstawienia  parametrycznego  powierzchni.  Linie  te  tworzą  na  powierzchni  tzw.   siatkę  Gaussa  (rys. 2) lub siatkę współrzędnych Gaussa.      4.2 Pierwsza forma kwadratowa powierzchni  y  x  z  i    j    k    M  S  Rys. 1  const u =   Rys. 2  const v =   Kartografia matematyczna. Elementy teorii powierzchni. Odwzorowanie powierzchni na powierzchnię.   2    Weźmy  powierzchnię  daną  równaniem  wektorowym  ) , ( v u r r = .  Na  tej  powierzchni  przez punkt P prowadzimy linie parametryczne  u=const., v=const . Parametrom  u  i  v  (liniom  parametrycznym)  nadajemy  róŜniczki  du   i   dv .  W  wyniku  tego  otrzymujemy  nowe  linie  parametryczne  przecinające  się  w  punkcie  P1  (rys.  3).  Punkty  P  i  P1  łączymy  łukiem  o  długości  ds ; chcemy znaleźć długość  ds .                              Wyznaczymy w tym celu róŜniczkę   r d  wektora    r  :  dv r du r dv v r du u r r d v u + = ∂

(…)

… i wyprostować na płaszczyźnie. Dla kuli jest to jednak
niemoŜliwe, poniewaŜ kula nie jest rozwijalna na płaszczyznę. Dlatego teŜ bierzemy
powierzchnie, którą łatwo moŜemy rozwinąć. Gdy stycznie do kuli
przykładamy płaszczyznę to mamy odwzorowanie płaszczyznowe zwane
równieŜ odwzorowaniem azymutalnym.
Gdy weźmiemy walec styczny do kuli wzdłuŜ dowolnego koła wielkiego,
zrzutujemy punkty z powierzchni kuli na pobocznicę walca a następnie
rozetniemy ją wzdłuŜ tworzącej to otrzymamy odwzorowanie walcowe.
MoŜna takŜe uŜyć jako powierzchnie obrazu pobocznicę walca połoŜoną
stycznie do powierzchni kuli wzdłuŜ dowolnego koła małego a następnie
rozciąć ją wzdłuŜ tworzącej. Będziemy mieli wtedy odwzorowanie stoŜkowe.
11

... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz