Egzamin I termin rachunek prawdopodobieństwa

Rachunek prawdopodobieostwa, semestr I,  1. termin  egzaminu z roku  2009/2010   1.  , X Y   są  niezależnymi  zmiennymi  losowymi  o  rozkładzie  (0,1) N .  Wyznaczyd  gęstośd  rozkładu  zmiennej losowej  2 2 | | / T X X Y  .  Wyznaczę najpierw dystrybuantę zmiennej  T  .  2 2 | | ( ) ( ) T X F t P T t P t X Y   Dla ustalonego   t  oznaczmy:  2 2 | | ( ) ( , ) : X S t X Y t X Y Czyli mamy teraz dystrybuantę:  ( ) ( ) T X Y S t F t f f dS Przechodząc teraz na zmienne biegunowe:  cos sin X r Y r   Obszar dany jest teraz następująco: 2 2 | | ( ) ( , ) : ( , ) :| cos | X S t X Y t r t X Y   1 2 3 4 5 6 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0   Z powyższego wykresu widzimy, że rozwiązaniem tej nierówności  | cos |  t   jest:    (arccos , arccos ) ( arccos , 2 arccos ) t t t t  .  Po wstawieniu do (1) oraz zamienieniu całki na całkę iterowaną, we współrzędnych biegunowych  mamy:  2 2 arccos 2 arccos /2 /2 0 arccos arccos 1 2 ( ) 1 arccos 2 t t e e T t t F t dr re re t  ,  wiedząc,  że  ( ) '( ) T T f t F t  ,  ostatecznie  otrzymujemy  2 2 ( ) 1 T f t t . t  2.  Wykonujemy  rzuty  monetą  aż  do  uzyskania  po  raz  pierwszy  sekwencji  dwóch  jednakowych  wyników w dwóch kolejnych rzutach. Oblicz wartośd oczekiwaną liczby wykonanych rzutów.    Widzimy, że szukamy tutaj wartości oczekiwanej dla dyskretnego rozkładu prawdopodobieostwa.  Oznaczmy przez  i p  prawdopodobieostwo, że po raz pierwszy dwa takie same wyniki z rzędu  wystąpią w  1 i  oraz   i  -tym rzucie.  Skorzystamy więc ze wzoru:  i i EX x p  .   Zauważmy najpierw, że  1 0 p . Szansa, że po raz pierwszy dwa razy ten sam wynik pojawi się  dokładnie po   n  -tym rzucie wynosi dokładnie  1 1 2 i . Wynika to stąd, że pierwszy rzut jest dowolny,  ale już każdy następny musi byd inny niż poprzedni, a ponadto nasz   i  -ty musi byd taki sam jak  1 i - szy. Zważywszy na fakt, że rzuty monetą są niezależne od siebie, otrzymujemy wzór  1 1 2 i .  Mamy więc teraz do obliczenia sumę  1 2 1 2 n k n .  Weżmy:  1 2 ( ) k k f x k x  . Wtedy  2 2 2 0 1 ( ) ( ) 1 1 (1 ) x k k x f s ds x f x x x .  Wstawiające  2 x , otrzymujemy  3 EX .    3.  Wybieramy  losowo  i  niezależnie  punkty  1 P

(…)

… było jak największe?
Oznaczmy przez n liczbę helikopterów przydzielonych do obszaru A.
Rozpatrzmy funkcję zmiennej n , która zwraca prawdopodobieostwo nieodnalezienia rozbitka.
f ( n)
1
(1 p)n
3
1
(1 p) 20 n . Interesuje nas taka wartośd naturalna n {1, 2,..., 20} , że f (n)
6
jest największa.
Wystarczy więc znaleźd ekstremum tej funkcji w przedziale (1, 20) , a następnie sprawdzid, dla jakiej z
liczb naturalnych…
… 13830 razy, a następnie za p przyjąd stosunek ilości wypadnięd szóstki do ilości
wykonanych rzutów.
//Dlaczego błąd w zadaniu? Bo dla p
0 potrzebujemy n
rzutów, aby chod raz otrzymad
szóstkę. Poza tym, do stosowania Centralnego Twierdzenia Granicznego potrzebujemy, aby
np(1 p) 10 .
5. Do poszukiwania zaginionego rozbitka przydzielono 20 helikopterów. Każdy z nich można
skierowad do jednego z dwóch…
... zobacz całą notatkę