To tylko jedna z 5 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
4. Efekt Holla.
Na poruszający się ładunek w polu
magnetycznym działa siła Lorenza:
F = qV × B
Nośniki ładunku, zarówno dodatnie, jak
i ujemne, są odchylane w tą samą stronę
(bo wędrują w przeciwnych kierunkach).
Na podstawie ładunku, jaki zgromadzi
się na boku płytki można
wywnioskować, jakie cząstki przewodzą
prąd.
siła pola magnetycznego:
FB = ± evB
siła pola elektrycznego, powstającego w wyniku efektu Holla:
Korzystamy ze wzoru
Fε H = eε H
j = nev , gdzie v ≡ vu - prędkość unoszenia
j
I
=
,
gdzie S = ad
ne neS
IB
IB
=
Stąd: ε H =
neS neda
Napięcie hollowskie: U H = ε H d
IB
UH
IB
=
→ UH =
d
neda
nea
v=
(często pisze się: U H = ±
1
IB - znak zależy od ładunku nośników)
nea
Okazuje się, że w pewnych strukturach zachodzi tzw. kwantowy
efekt Holla (QHE).
Później dostrzeżono również ułamkowy kwantowy efekt Holla
(FQHE) – kwantowanie pojawiało się w niskich temperaturach
dla trzykrotnie wyższych B:
df
=0
dt
f = f 0 + f1
f
F
∇k f + 1 = 0
h
τ
∇ k f = ∇ k f 0 + ∇ k f1
Jeżeli weźmiemy tylko pole elektryczne,
możemy dla tego przypadku pominąć ∇ k f1 :
∂f
∇ k f ≈ ∇ k f 0 = 0 ∇ k E
∂E
qε
qε
∇k f ≈
∇k f0 =
h
h
qε ∂f 0
∂f 0
=
∇ k E = V
qε
h ∂E
∂E
/ ⋅ qhε
χ ( E )V
∂f
∂f
= 0 , gdzie χ ( E ) = qτ − 0 ε
q 0 ε V +
τ
∂E
∂E
(
Wprowadzamy siłę: F = q ε + V × B
)
(
∂f
Korzystając z ∇ k f ≈ ∇ k f 0 dostaniemy: f 1 = qτ − 0 V ε + V × B
∂E
)
Z definicji V ⊥ V × B, stąd V ⋅ V × B = 0 , co oznacza, że nie możemy sobie pozwolić na to przybliżenie
i musimy uwzględnić całość: ∇ k f = ∇ k f 0 + ∇ k f1
Jest to skomplikowane i w ogólnym przypadku nie da się tego rozwiązać. Stosujemy inne przybliżenie:
∂f
χ ( E ) = S χ 0 ( E ) , gdzie S - tensor, χ 0 ( E ) = qτ − 0 ε
∂E
∂f
Pole magnetyczne zmienia funkcję χ (E ) w tensor: χ ( E ) = q Sτ − 0 ε
∂E
Również przewodnictwo będzie tensorem:
∂f
τ = 2 ∫τ − 0 k 3 dE , stąd:
3π 0 ∂E
1
km
σ=
Sτ =
e 2 Sτ
m*
km
1
3π
2
∂f 0
∫ Sτ − ∂E k
3
dE
0
Dokładna postać tensora nie jest znana, wiemy tylko co nieco o pewnych wyróżnionych kierunkach, np.
ε = ε x = (ε x , 0, 0 ) ;
B = Bz = (0, 0, Bz )
Wówczas po skomplikowanych wyprowadzeniach:
1
S
0
2
2
1+ S
1+ S
−S
eB 2π
1
- częstość ruchu po okręgu elektronów
S =
0 ; S = ω Cτ , gdzie ω C = * =
2
2
Τ
1+ S
m
1+ S
0
1
0
Przechodzimy do współrzędnych tensora: σ → σ ij
e2
τ
σ 11 = σ 22 = *
;
m 1+ S 2
Pozostałe: σ ij = 0
σ 12
e2
Sτ
= −σ 21 = *
;
m 1+ S 2
σ 33
e2
= * τ
m
Gęstość prądu: ji = σ ij ε j
j x = σ 11ε x + σ 12ε y
j y = σ 21ε x + σ 22ε y = 0 - w kierunku y prąd nie płynie
σ 22
σ
σ
ε y = 22 ε y = 11 ε y
σ 21
σ 12
σ 12
2
2
2
σ 11
σ 11 + σ 12
ε + σ 12ε y =
jx =
εy
σ 12 y
σ 12
Stąd:
εx = −
σ 11 = σ 22
e2
τ
= *
;
m 1+ S 2
σ 12
e2
Sτ
= −σ 21 = *
;
m 1+ S 2
S = ω Cτ =
2π
eB
τ=
τ
*
Τ
m
τ - czas rozpraszania (krótki, rzędu ~ 10 −10 s)
Im wyższe pole tym większa ω C i tym krótszy okres T. W słabych polach T τ i
(…)
… równanie Schrödingera dla jednego
kierunku:
h2 d 2
h 2k 2
−
ψ ( x) = Eψ ( x)
E=
2m dx 2
2m
Z warunków brzegowych:
nπ
h 2π 2 2
sin kL = 0 → kL = nπ ; k n =
;
En =
n
L
2mL2
W studni potencjału elektron zachowuje się jak fala stojąca. Jego energia jest skwantowana. W realnym
przypadku mamy studnię w paśmie przewodnictwa i paśmie walencyjnym, ale tylko w kierunku wzrostu
2
h 2 k x2 + k y
kryształu…
…
Bez potencjału elektron w krysztale porusza się jak elektron swobodny z masą efektywną. W masie
efektywnej zawarta jest informacja o funkcji uk r .
Landau zapisał równanie Schrödingera w postaci:
()
()
()
ˆ
p2
ψ r = Eψ r , gdzie p = −ih∇ = −ih ∂ + ∂ + ∂ ;
ˆ
*
∂x ∂y ∂z
2m
∂2
∂2
∂2
ˆ
ˆ ˆ
p 2 = p ⋅ p = −h 2 + 2 + 2
∂x
∂y
∂z
Mechanika klasyczna wprowadza pęd uogólniony:
e
p…
… (η ) =
Ostatecznie: −
*
2
2
2m
2m ∂η
Interpretacja:
elektron swobodny miał energię:
E=
(
2
2
h 2 k x + k y + k z2
)
2m *
Gdy wprowadzamy pole magnetyczne, energia ulega
skwantowaniu w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku tego
pola.
2
k x2 + k y
→
1
hω n +
2
1 h 2 k z2
E = hω C n + +
2 2m *
W kierunku równoległym do kierunku pola nie ma
kwantowania.
Efekty kwantowe…
… ( z ). Energia elektronu w rzeczywistej studni: E = E n +
2m *
Wprowadzając domieszkę (domieszkowanie modulacyjne) uzyskujemy dodatkowy elektron, który
cm
wpada do studni i uzyskuje ogromną ruchliwość µ ≈ 10 7
. Niestety utrzymuje się ona tylko w
V
niskich temperaturach (w wysokich fonony utrudniają ruch).
Zamiast tego dostajemy półprzewodnik o ściśle określonej liczbie nośników prądu.
(
)
Gdy wprowadzimy układ…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)