Wyklad 6 6 listopada 2012 Dzialanie grupy na zbiorze Niech G bedzie grupa multyplikatywna. M´ owimy, ˙ze G dziala na zbiorze X je´ sli jest okre´ slone odwzorowanie ρ : G × X → X spelniajace nastepujace dwa warunki (piszemy g(x) zamiast ρ(g, x)): 1. dla dowolnych g1, g2 ∈ G oraz dla ka˙zdego x ∈ X (g1 · g2)(x) = g1(g2(x)) 2. dla dowolnego x ∈ X e(x) = x (gdzie e jest elementem neutralnym grupy G). Przyklad 0.1 Grupa Kleina jest, w oczywisty spos´ ob, grupa dzialajaca na zbio- rze X = {A, B, C, D} wierzcholk´ ow prostokata. Przyklad 0.2 Grupa obrot´ ow sze´ scianu. u A u B ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ u D u C u E ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ u F u H u G ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ Przy oznaczeniach jak na rysunku, elementami grupy beda: • Obroty wok´ ol osi laczacych naprzeciwlegle wierzcholki, czyli permutacje (lacznie 8 permutacji): (A)(G)(B, E, D)(C, F, H), (A)(G)(B, D, E)(C, H, F ), (B)(H)(C, F, A)(G, E, D), (B)(H)(A, F, C)(D, E, G), (C)(E)(B, G, D)(A, F, H), (C)(E)(B, D, G)(A, H, F ), (D)(F )(A, C, H)(E, B, G), (D)(F )(A, H, C)(E, G, B). 1 2 • Obroty wok´ ol osi laczacych ´ srodki przeciwleglych ´ scian, czyli permutacje: (A, B, F, E)(D, C, G, H), (A, F )(E, B)(D, G)(C, H), (A, E, F, B)(D, H, G, C), (A, E, H, D)(B, F, G, C), (A, H)(E, D)(B, G)(F, C), (A, D, H, E)(B, C, G, F ), (A, B, C, D)(E, F, G, H), (A, C)(B, D)(E, G)(F, H), (A, D, C, B)(H, G, F, E). - tych permutacji jest lacznie 9. • Sze´s´ c obrot´ ow wok´ ol osi laczacych ´ srodki przeciwleglych krawedzi, czyli per- mutacje: (E, A)(G, C)(F, D)(H, B), (F, B)(H, D)(E, C)(A, G), (A, B)(H, G)(F, D)(E, C), (E, F )(D, C)(A, G)(B, H), (E, H)(B, C)(A, G)(D, F ), (A, D)(F, G)(C, E)(B, H) Poniewa˙z musimy tak˙ze uwzgledni´ c identyczno´ s´ c (A)(B)(C)(D)(E)(F )(G)(H), grupa obrot´ ow sze´ scanu jest rzedu 24. Twierdzenie 0.1 Je´ sli grupa G dziala na zbiorze X, g ∈ G, to g jest bijekcja zbioru X. Dow´ od. • Niech g ∈ G i niech x i y beda takimi elementami zbioru X, ˙ze g(x) = g(y). W´ owczas g−1(g(x)) = g−1(g(y)) i stad oraz z pierwszego postulatu definicji dzialania grupy na zbiorze (g−1 · g)(x) = (g−1 · g)(y). Mamy wiec e(x) = e(y) i na mocy drugiego warunku x = y. Dowolny element grupy G jest wiec jako funkcja zbioru X w X, injekcja. • Niech teraz y ∈ X. Zdefiniujmy x := g−1(y). Korzystajac z dw´ och wa- runk´ ow definicji dzialania grupy na zbiorze latwo mo´ zna sprawdzi´ c, ˙ze y = g(x). Dowolny element g ∈ G jako funkcja dzialajaca na zbiorze X
(…)
… podgrupy
˙
o
Gx na orbite elementu x i stad oczywi´cie bedzie wynikala r´wnoliczno´´ zbior´w
s
o
sc
o
G : Gx oraz Orb x.
Nim jednak udowodnimy, ze φ jest bijekcja wyka˙ emy, ze funkcja φ jest dobrze
˙
z
˙
okre´lona. Musimy wiec udowodni´, ze je´li g, h ∈ G sa takimi elementami, ze
s
c ˙
s
˙
Gx g = Gx h, w´wczas φ(Gx g) = φ(Gx h). Inaczej m´wiac, ze warto´´ funkcji φ
o
o
˙
sc
nie zale˙ y od tego jakiego…
… g) = φ(Gx h.
φ jest injekcja. Rzeczywi´cie, je´li φ(Gx ) = φ(Gx h) w´wczas g −1 (x) = h−1 (x),
s
s
o
a wiec h ◦ g −1 (x) = x, czyli h ◦ g −1 ∈ Gx . To oznacza, ze h ≡ g modulo Gx i
˙
ostatecznie Gx h = Gx g.
Injektywno´´ funkcji φ. Przypu´´my, ze φ(Gx g) = φ(Gx h). W´wczas
sc
sc
˙
o
g −1 (x) = h−1 (x), a wiec h ◦ g −1 (x) = x, czyli h ◦ g −1 ∈ Gx , a wiec g ≡ h
modulo Gx i wobec tego Gx g = Gx h…
…´´ zbior´w
s
o
sc
o
G : Gx oraz Orb x.
Nim jednak udowodnimy, ze φ jest bijekcja wyka˙ emy, ze funkcja φ jest dobrze
˙
z
˙
okre´lona. Musimy wiec udowodni´, ze je´li g, h ∈ G sa takimi elementami, ze
s
c ˙
s
˙
Gx g = Gx h, w´wczas φ(Gx g) = φ(Gx h). Inaczej m´wiac, ze warto´´ funkcji φ
o
o
˙
sc
nie zale˙ y od tego jakiego reprezentanta warstwy wybierzemy. Dow´d mo˙ na
z
o
z
przedstawi´ jako ciag…
…´my jednak, jak zastosowa´ mo˙ na w naszym przykladzie Lemat Burnz
c
z
side’a.
Nasz naszyjnik to pieciokat foremny, kt´rego grupe izometri D5 doskonale
o
znamy. Oznaczmy przez g izometrie odpowiadajaca permutacji g = (1, 2, 3, 4, 5).
W´wczas D5 = {id, g, g 2 , g 3 , g 4 , h, hg, hg 2 , hg 3 , hg 4 }, gdzie h = (1)(2, 5)(3, 4)
o
jest symetria (o´ symetrii przechodzi przez wierzcholek 1 (oczywi´cie oznaczenia
s
s
sa…
…
Liczba r´znych naszyjnik´w, to liczba N orbit.
o˙
o
Rzad grupy r´wny D5 = 10. Natomiast liczby |F ix g| beda r´zne, w zale˙ no´ci
o
o˙
z s
od typu izometrii.
• |F ix id|: Ka˙ dy naszyjnik przechodzi przez identyczno´´ w samego siez
sc
bie, a wszystkich naszyjnik´w jest tyle, na ile sposob´w mo˙ na ze zbioru
o
o
z
{1, 2, 3, 4, 5} wybra´ dwa elementy odpowiadajace koralikom niebieskim.
c
Tak wiec |F ix id…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)