Ćwiczenia - Układy równań liniowych

Nasza ocena:

3
Pobrań: 28
Wyświetleń: 686
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Ćwiczenia - Układy równań liniowych - strona 1 Ćwiczenia - Układy równań liniowych - strona 2 Ćwiczenia - Układy równań liniowych - strona 3

Fragment notatki:

4. Układy równań liniowych
Układ równań o niewiadomych ma postać
Układ równań można zapisać w postaci macierzowej
,
gdzie jest macierzą podstawową układu lub macierzą współczynników,
jest wektorem niewiadomych,
jest wektorem wyrazów wolnych.
Przykład
Układ równań liniowych
można zapisać w postaci macierzowej gdzie
, , .
Jeżeli wektor jest wektorem zerowym, to układ równań liniowych nazywamy układem równań liniowych jednorodnych. Jeżeli co najmniej jedna współrzędna wektora jest różna od zera, to układ nazywamy układem równań liniowych niejednorodnych.
Rozwiązaniem układu równań liniowych nazywamy taki zbiór wartości niewiadomych, które spełniają ten układ.
Układ równań liniowych może być:
sprzeczny, gdy zbiór rozwiązań układu jest zbiorem pustym, tzn. układ nie ma żadnego rozwiązania,
oznaczony, gdy zbiór rozwiązań układu zawiera dokładnie jeden element, tzn. układ ma dokładnie jedno rozwiązanie,
nieoznaczony, gdy zbiór rozwiązań układu zawiera nieskończenie wiele elementów, tzn. układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Układ równań o niewiadomych
Rozważmy układ równań
Oznaczmy
, , .
Wtedy układ można zapisać w postaci
.
Układ równań nazywamy układem Cramera, jeżeli .
Jeżeli , to macierz jest nieosobliwa oraz istnieje macierz do niej odwrotna . Zatem
.
Ponieważ, na mocy definicji oraz , możemy stwierdzić, że rozwiązaniem układu Cramera jest wektor postaci
.
Rozwiązywanie układu Cramera z wykorzystaniem powyższego wzoru nazywamy metodą macierzy odwrotnej.
Przykład
Rozwiązać dany układ metodą macierzy odwrotnej
Macierz podstawowa tego układu jest postaci
.
Obliczamy wyznacznik tej macierzy
,
co oznacza, że układ jest układem Cramera. Wyznaczymy macierz odwrotną metodą operacji elementarnych
Zatem ,
wobec czego
,
co oznacza, że rozwiązaniem tego układu jest , , .
Wprowadźmy macierze
,
gdzie .
Twierdzenie

(…)


4. Układy równań liniowych
Układ równań o niewiadomych ma postać
Układ równań można zapisać w postaci macierzowej
,
gdzie jest macierzą podstawową układu lub macierzą współczynników,
jest wektorem niewiadomych,
jest wektorem wyrazów wolnych.
Przykład
Układ równań liniowych
można zapisać w postaci macierzowej gdzie
, , .
Jeżeli wektor jest wektorem zerowym, to układ równań liniowych nazywamy…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz