6. Twierdzenia o pochodnych
Twierdzenie 6.1 (Rolle'a)
Jeżeli funkcja spełnia warunki:
jest ciągła na ,
ma pochodną w ,
,
to istnieje punkt taki, że .
Przykład Niech , . Łatwo sprawdzić, że funkcja spełnia założenia twierdzenia Rolle'a. Mamy ponadto , skąd , czyli .
Twierdzenie 6.2 (Lagrange'a)
Jeżeli funkcja spełnia warunki:
jest ciągła na ,
ma pochodną w ,
to istnieje punkt taki, że .
Przykład Niech , . Łatwo sprawdzić, że funkcja spełnia założenia twierdzenia Lagrange'a. Mamy ponadto oraz , skąd , czyli .
Twierdzenie 6.3
Niech oraz będzie różniczkowalna w tym przedziale. Jeżeli dla każdego , to jest stała na ,
, to jest rosnąca na ,
, to jest malejąca na ,
, to jest niemalejąca na ,
, to jest nierosnąca na .
Przykład
Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji .
Ponieważ , zatem dla oraz dla . Na podstawie twierdzenia możemy wnioskować, że funkcja jest rosnąca w przedziale i w przedziale oraz funkcja jest malejąca w przedziale i w przedziale .
Twierdzenie 6.4 (Cauchy'ego)
Jeżeli funkcje i spełniają warunki
są ciągłe na ,
maja pochodne w ,
dla każdego ,
to istnieje punkt taki, że .
Twierdzenie 6.5 (reguła de l'Hospitala dla nieoznaczoności )
Niech funkcje i będą określone w sąsiedztwie ,
,
istnieje granica .
Wtedy
.
Uwaga
Powyższe twierdzenie jest prawdziwe także dla granic jednostronnych w punkcie oraz dla granic w i w .
Przykłady
,
,
.
Twierdzenie 6.5 (reguła de l'Hospitala dla nieoznaczoności )
Niech funkcje i będą określone w sąsiedztwie ,
,
istnieje granica .
Wtedy
.
Uwaga
Powyższe twierdzenie jest prawdziwe także dla granic jednostronnych w punkcie oraz dla granic w i w .
Przykłady
,
.
Uwaga
Inne nieoznaczoności, a mianowicie: , , , , sprowadzamy do nieoznaczoności lub .
Przykłady
,
(…)
… „ ” lub „ ”, to mówimy odpowiednio o minimum lub maksimum niewłaściwym.
Minimum i maksimum obejmujemy jedną nazwą ekstremum.
Przykłady
Funkcja ma minimum w punkcie , gdyż dla każdego . Jest to nawet minimum globalne.
Funkcja ma maksimum w punkcie , gdyż dla każdego . Jest to także maksimum globalne.
Twierdzenie 6.6 (warunek konieczny ekstremum)
Jeżeli
,
ma pochodną ,
to .
Przykłady
Funkcja spełnia założenia twierdzenia…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)