Ćwiczenia - Pochodna funkcji

Nasza ocena:

3
Pobrań: 14
Wyświetleń: 553
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Ćwiczenia - Pochodna funkcji  - strona 1 Ćwiczenia - Pochodna funkcji  - strona 2 Ćwiczenia - Pochodna funkcji  - strona 3

Fragment notatki:

Pochodna funkcji Niech oraz , gdzie .
Definicja 5.1
Ilorazem różnicowym funkcji w punkcie odpowiadającym przyrostowi , gdzie , nazywamy liczbę
Przykłady
Niech , . Mamy
.
Niech , . Wtedy
.
Definicja 5.2
Pochodną funkcji w punkcie nazywamy granicę ilorazu różnicowego
.
Przykłady
Niech , . Wtedy ,
, , .
Uwagi
Inne definicje i oznaczenia pochodnej
,
,
.
Definicja 5.4
Jeżeli ma w punkcie skończoną pochodna, to mówimy, że jest różniczkowalna w punkcie .
Twierdzenie 5.1
Jeżeli jest różniczkowalna w punkcie , to jest w tym punkcie ciągła.
Twierdzenie 5.2
Niech oznacza kąt między styczną do wykresu funkcji w punkcie i dodatnią częścią osi . Wtedy
.
Równanie stycznej do wykresu funkcji w punkcie ma postać
.
Przykład
Niech , . Wtedy , zatem styczna do wykresu tej funkcji w punkcie ma postać .
Twierdzenie 5.3
Miara kąta ostrego przecięcia wykresów funkcji i w punkcie , gdzie , wyraża się wzorem
.
Jeżeli , to .
Przykład
Obliczymy miarę kąta przecięcia wykresów funkcji i w punkcie . Ponieważ oraz , więc
.
Definicja 5.4
dla takiego, że istnieje .
Przykłady
Niech . Wtedy , skąd w szczególności mamy Niech . Wtedy , skąd mamy .
Rozważmy jeszcze funkcję . Mamy .
Wzory podstawowe
, ,
,
,
.
Reguły różniczkowania
Twierdzenie 5.4
Jeżeli funkcje i są różniczkowane w punkcie , to
,
,
, gdzie ,
,
, o ile .
Twierdzenie 5.5
Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w punkcie oraz funkcja jest różniczkowalna w punkcie , to .
Twierdzenie 5.6
Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w punkcie oraz posiada funkcję odwrotną , to
.
Przykłady
,
,
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz