Granica funkcji w punkcie
Definicja 3.1
Sąsiedztwem o promieniu punktu nazywamy zbiór
.
Definicja 3.2
Sąsiedztwem lewostronnym o promieniu punktu nazywamy zbiór
.
Definicja 3.3
Sąsiedztwem prawostronnym o promieniu punktu nazywamy zbiór
.
Uwaga 1
Jeżeli promień sąsiedztwa nie będzie istotny w rozważaniach, to zbiory , oraz będziemy oznaczać odpowiednio przez , oraz .
Uwaga 2
Zbiór
nazywamy otoczeniem o promieniu punktu .
Definicja 3.4
Niech oraz . Liczbę nazywamy granicą funkcji w punkcie , co zapisujemy , jeżeli
.
Uwaga 3
Powyższą definicję nazywa się definicją Heinego granicy funkcji w punkcie. Można ją zapisać także w postaci
.
Przykłady
Niech oraz .
Zauważmy, że . Weźmy więc dowolne sąsiedztwo , gdzie . Wtedy oczywiście . Niech będzie dowolnym ciągiem takim, że . Mamy ,
co oznacza, że .
Niech oraz .
Zauważmy, że . Weźmy więc dowolne sąsiedztwo , gdzie jest dowolną liczbą rzeczywistą (można nawet przyjąć ). Wtedy oczywiście . Niech będzie dowolnym ciągiem takim, że . Mamy ,
co oznacza, że .
Twierdzenie 3.1
Jeżeli , gdzie oraz ,
, gdzie oraz ,
, to
granica nie istnieje.
Przykład
Granica nie istnieje. Mamy tutaj , .
Biorąc mamy , oraz , czyli .
Analogicznie mamy , oraz , czyli . Zatem , a więc na podstawie twierdzenia 3.1 wnioskujemy, że granica ta nie istnieje.
Dotychczas mówiliśmy o granicy właściwej funkcji (tzn. ) w punkcie właściwym (tzn. ). Teraz rozszerzymy to pojęcie.
, gdzie , ,
, gdzie , ,
, .
Przykłady
, .
Pokażemy teraz, że nie istnieje. Rzeczywiście, biorąc mamy oraz . Ponadto, przyjmując mamy oraz . Zatem , co oznacza, że granica ta nie istnieje.
Wprowadzimy jeszcze pojęcie granic jednostronnych. Niech oraz .
,
Twierdzenie 3.2
Przykład
Niech oraz . Łatwo sprawdzić, że
(…)
… ,
to funkcja jest ciągła w punkcie .
Twierdzenie 4.4
Jeżeli funkcja jest ciągła w punkcie oraz posiada funkcję odwrotną , to funkcja odwrotna jest ciągła w punkcie .
Definicja 4.2
Funkcja jest ciągła w zbiorze , jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru.
Twierdzenie 4.5
Funkcje elementarne są ciągłe w swoich dziedzinach.
Asymptoty wykresu funkcji Niech oznacza dowolną liczbę rzeczywistą, - dowolną liczbę dodatnią, - funkcję określoną dla
,
,
.
Definicja 5.1
Prostą o równaniu nazywamy asymptotą pionową
lewostronną,
prawostronną,
obustronną,
krzywej o równaniu , jeżeli
albo ,
albo ,
jest jednocześnie asymptotą lewostronną i prawostronną.
Przykłady
Wykres funkcji ma asymptotę pionową lewostronna , ponieważ
. Asymptota ta nie jest asymptotą pionową prawostronną, gdyż , nie jest więc także asymptotą pionową obustronną.
Prosta jest asymptotą pionową prawostronną wykresu funkcji , ponieważ . Asymptota ta nie jest asymptotą pionową lewostronną, gdyż funkcja nie jest określona w , nie jest więc także asymptotą pionową obustronną.
Prosta jest asymptotą pionową obustronną wykresu funkcji , gdyż oraz .
Niech i oznaczają dowolne liczby rzeczywiste, zaś funkcję określoną dla
,
,
oraz .
Definicja 5.2
Prostą…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)