Ćwiczenia - ciągi liczbowe

Nasza ocena:

3
Pobrań: 7
Wyświetleń: 448
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Ćwiczenia - ciągi liczbowe - strona 1 Ćwiczenia - ciągi liczbowe - strona 2 Ćwiczenia - ciągi liczbowe - strona 3

Fragment notatki:

Ciągi liczbowe
Definicja 2.1
Funkcję nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość funkcji oznaczamy symbolem i nazywamy n-tym lub ogólnym wyrazem ciągu. Ciąg zapisujemy również w postaci .
Przykłady
, ,
.
Definicja 2.2
Ciąg liczbowy nazywamy arytmetycznym, jeżeli dla każdego różnica jest stała.
Ciąg arytmetyczny tradycyjnie definiuje przez podanie pierwszego wyrazu i różnicy . Dla przykładu, gdy oraz , to otrzymujemy ciąg kolejnych liczb naturalnych .
Dla ciągów arytmetycznych mamy dwa podstawowe wzory
,
.
Korzystając z tych wzorów możemy znaleźć dla ciągu podanego wyżej , .
Definicja 2.3
Ciąg liczbowy nazywamy geometrycznym, jeżeli dla każdego iloraz jest stały. Ciąg geometryczny tradycyjnie definiuje się przez podanie pierwszego wyrazu i ilorazu . Dla przykładu, gdy oraz , to otrzymujemy ciąg .
Dla ciągów geometrycznych mamy wzory
,
.
Korzystając z tych wzorów mamy dla ciągu podanego wyżej , .
Zastosowania
- oprocentowanie proste
Niech
- kwota początkowa (kapitał wyjściowy, fundusz zdeponowany),
- roczna stopa procentowa,
- kwota końcowa (kwota po n latach, kapitał końcowy).
Wtedy mamy
co oznacza, że
,
, itd.
Mamy zatem tutaj ciąg arytmetyczny o różnicy .
oprocentowanie składane (złożone)
Przy powyższych oznaczeniach mamy
co oznacza, że
,
, itd.
Mamy zatem tutaj ciąg geometryczny o ilorazie .
Obliczanie przy danym nazywamy dyskontowaniem. Mamy wtedy wzory , .
Wyrażenia
, nazywamy czynnikami dyskontującymi (są one stablicowane), a różnicę - dyskontem.
Definicja 2.4
Ciąg jest ograniczony z dołu, jeżeli
.
Definicja 2.5
Ciąg jest ograniczony z góry, jeżeli
.
Definicja 2.6
Ciąg jest ograniczony, jeżeli
.
Twierdzenie 2.1
Ciąg jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy
.
Przykłady
ciąg jest ograniczony z dołu ( ) i nieograniczony z góry,
ciąg jest ograniczony z góry (

(…)

… z twierdzenia o trzech ciągach obliczyć granicę .
Mamy
dla ,
skąd
.
Ponieważ oraz , zatem na podstawie twierdzenia o trzech ciągach .
Twierdzenie 2.4
Jeżeli ciąg jest ograniczony,
,
to .
Przykład
Obliczyć .
Przyjmując , mamy dla , czyli ciąg jest ograniczony. Analogicznie dla mamy . Zatem .
Definicja 2.13
Ciąg jest rozbieżny do , co zapisujemy , jeżeli .
Definicja 2.14
Ciąg jest rozbieżny do , co zapisujemy…
…, jeżeli
.
Definicja 2.11
Ciąg jest stały, jeżeli
.
Przykłady ciąg jest rosnący, gdyż , czyli dla ,
ciąg jest malejący, gdyż , czyli dla ,
ciąg nie jest ani rosnący ani malejący, gdyż oraz .
Definicja 2.12
Liczbę nazywamy granicą ciągu , co zapisujemy lub , jeżeli
.
Uwaga
Nierówność jest równoważna nierówności , z której wynika, że jeżeli , to prawie wszystkie wyrazy tego ciągu (o numerach wyższych od ) leżą…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz